Klasse 7 › Mathe › Daten und Zufall
Warum fällt beim Würfeln mit zwei Würfeln am häufigsten die 7?
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Die 7 fällt am häufigsten, weil sie auf sechs Arten entstehen kann: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 und 6 + 1. Zwei Würfel ergeben 36 gleich wahrscheinliche Paare, aber nur 11 Summen – und die sind ungleich verteilt. Die 7 hat die Wahrscheinlichkeit 6/36 = 1/6, die 2 und die 12 nur je 1/36.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
36 Paare, ungleich verteilt
Wirf zwei Würfel, einen roten und einen blauen. Jeder hat 6 Seiten, zusammen gibt es 6 · 6 = 36 gleich wahrscheinliche Paare. Die Augensumme 7 entsteht auf 6 Arten: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1. Die 12 entsteht nur auf eine: 6 + 6. Darum fällt die 7 am häufigsten, mit der Wahrscheinlichkeit 6/36 = 1/6.
Alle 36 Augensummen
Zeile: roter Würfel, Spalte: blauer Würfel. Die Summe 7 steht 6-mal auf der längsten Schräge.
So oft kommt jede Summe vor
- 2 und 12: je 1
- 3 und 11: je 2
- 4 und 10: je 3
- 5 und 9: je 4
- 6 und 8: je 5
- 7: 6
Wie oft jede Summe vorkommt
Anzahl der Paare je Augensumme: in der Mitte die 7 mit 6 Paaren, außen 2 und 12 mit je einem.
So rechnest du
- Alle 36 Paare in eine Tabelle mit 6 Zeilen und 6 Spalten schreiben.
- Die Paare mit der gesuchten Summe zählen.
- Wahrscheinlichkeit: Anzahl durch 36, dann kürzen.
Summe 7: 6/36 = 1/6
Typische Falle
- Falsch: „Jede Summe von 2 bis 12 ist gleich wahrscheinlich.“ Es gibt 11 Summen, aber 36 Paare – und die verteilen sich ungleich.
- (1|6) und (6|1) sind zwei verschiedene Paare: Der rote und der blaue Würfel tauschen ihre Zahlen.
- Für die 12 braucht es zweimal die 6, für die 7 gibt es sechs Wege.
Tipp
Male die Tabelle mit 36 Feldern und färb alle Felder mit der Summe 7: Sie liegen auf der längsten Schräge der Tabelle.
Üben
5 Aufgaben
Ergänze die Tabelle der Augensummen und zähle dann die Würfelpaare.
- Paare insgesamt:
- Paare mit der Summe 7:
- Paare mit der Summe 12:
- Paare mit der Summe 5:
- Paare mit der Summe 10:
Gib die Wahrscheinlichkeit als gekürzten Bruch an.
- Summe 7:
- Summe 12:
- Summe 4:
- Summe 8:
- Summe 11:
Berechne die Wahrscheinlichkeit als gekürzten Bruch.
- Pasch (zweimal dieselbe Zahl):
- Summe größer als 9:
- Gerade Summe:
- Mindestens eine Sechs:
- Summe 7 oder 11:
Wie viele Paare sind es? Achte auf die Reihenfolge.
- Eine 1 und eine 6: Paare
- Zweimal die 3: Paare
- Summe 3: Paare
- Summe 4: Paare
Stimmt das? Kreuze an.
- Die Summe 7 ist wahrscheinlicher als die Summe 6.
- Die Summen 2 und 12 sind gleich wahrscheinlich.
- (2|5) und (5|2) sind dasselbe Ergebnis.
- Jede Summe von 2 bis 12 hat die Wahrscheinlichkeit 1/11.
- Die Summe 1 ist unmöglich.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Jede Summe von zwei bis zwölf kommt gleich oft. Falsch!
Erklärung
Nimm zwei Würfel, einen roten und einen blauen. Jeder hat sechs Seiten. Zu jeder roten Zahl gehören sechs blaue: sechs mal sechs Paare. Eine Tabelle zeigt alle sechsunddreißig Paare mit ihrer Augensumme. Wichtig: Jedes Feld ist gleich wahrscheinlich, nicht jede Summe.
Wo steht die Sieben? Auf der längsten Schräge, ganze sechsmal! Die Zwölf steht nur einmal da: sechs plus sechs. Achtung: Rot eins, blau sechs ist nicht rot sechs, blau eins. Alle Summen gezählt: Es entsteht ein Berg, ganz oben die Sieben.
Elf Summen, aber sechsunddreißig Paare. Die verteilen sich ungleich. Die Sieben: sechs von sechsunddreißig, gekürzt ein Sechstel. Die Zwölf: nur eins von sechsunddreißig. Sechsmal seltener! Warum gerade die Sieben? Zu jeder roten Zahl passt genau eine blaue.
Bei der Zwölf klappt das nur mit der Sechs.
Beispiele
Zweites Beispiel: Wie wahrscheinlich ist ein Pasch, also zweimal dieselbe Zahl? Die Pasche liegen auf der anderen Schräge: sechs Felder. Also sechs von sechsunddreißig, gekürzt wieder ein Sechstel. Und eine Summe größer als neun? Das sind zehn, elf und zwölf.
Drei plus zwei plus eins: sechs Felder, wieder ein Sechstel. Ein Spiel: Lea gewinnt bei der Sieben, Tim bei Zwei oder Zwölf. Lea hat sechs Felder, Tim nur zwei. Fair ist das nicht! Fair: Tim nimmt Zwei, Drei, Elf und Zwölf – auch sechs Felder.
Probe: Alle Säulen zusammen ergeben genau sechsunddreißig Felder.
Dein Zug
Dein Zug: Wie wahrscheinlich ist die Augensumme neun? Lösung: vier von sechsunddreißig, also ein Neuntel.
Zum Schluss
Die Sieben hat sechs Paare, Zwei und Zwölf nur je eins. Merk dir: Die Sieben hat sechs Wege, mehr als jede andere Summe. Zum Üben: Schreib alle sechsunddreißig Würfelpaare in eine Tabelle. Zähl die Summen sieben und zwölf. Nächste Frage: Wie rechnet man mit dem Baumdiagramm?
Danach
