Zum Inhalt springen
Schulpuls App öffnenAppKl. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Klasse 7 › Mathe › Zuordnungen

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Mathe Klasse 7 Zuordnungen

Neu: Dieses Video läuft schon hier, bevor es auf YouTube erscheint.

Spotify-Show Übungsblatt (PDF) In der App üben
Kurz gesagt

Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten der einen Größe die Hälfte der anderen, zum Dreifachen ein Drittel. Darum bleibt das Produkt gleich: 2 Pumpen brauchen 6 Stunden, 4 Pumpen 3 Stunden, beide Male 12. Der Graph ist keine Gerade, sondern eine Hyperbel. „Je mehr, desto weniger“ allein reicht nicht.

Das Wichtigste zum Nachlesen

1 Min. Lesen

Doppelt so viel, halb so viel

Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zum Doppelten der einen Größe die Hälfte der anderen, zum Dreifachen ein Drittel. Darum bleibt das Produkt zusammengehöriger Werte immer gleich: 2 Pumpen brauchen 6 Stunden, 3 Pumpen 4 Stunden – beide Male ist das Produkt 12. Der Graph ist keine Gerade, sondern eine Kurve, die Hyperbel.

Pumpen und Stunden

  • 1 Pumpe: 12 h
  • 2 Pumpen: 6 h
  • 3 Pumpen: 4 h
  • 4 Pumpen: 3 h

So prüfst du eine Tabelle

  1. Multipliziere jedes Wertepaar.
  2. Immer dasselbe Produkt: antiproportional.
  3. Immer derselbe Quotient: proportional.
  4. Keins von beiden: weder noch.

1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = 12

Der Graph: eine Hyperbel

x: Pumpen, y: Stunden. Alle Punkte haben x · y = 12 – auch 1 Pumpe mit 12 h, weiter oben.

Typische Falle

  • Falsch: „Mehr ist immer mehr.“ Mehr Helfer brauchen weniger Zeit.
  • „Je mehr, desto weniger“ reicht nicht: Das Produkt muss gleich bleiben.
  • Ein Auto wird mit den Jahren billiger, aber Alter mal Preis bleibt nicht gleich – nicht antiproportional.

Proportional oder antiproportional?

  • proportional
  • antiproportional
  • proportional
  • antiproportional

Tipp

Denk an eine Pizza für mehrere Kinder: Mehr Kinder, kleinere Stücke. Die ganze Pizza bleibt gleich – genau wie das Produkt aus Anzahl und Stückgröße.

Üben

6 Aufgaben

  1. Prüf Produkt und Quotient: proportional, antiproportional oder keins?

    1. x: 1, 2, 4 und y: 12, 6, 3:
    2. x: 1, 2, 4 und y: 5, 10, 20:
    3. x: 2, 3, 6 und y: 30, 20, 10:
    4. x: 1, 2, 3 und y: 4, 6, 8:
    5. x: 3, 4, 6 und y: 8, 6, 4:

  2. 4 Pumpen leeren ein Becken in 6 Stunden (Punkt P). Ergänze – der Graph hilft beim Kontrollieren.

    1. 8 Pumpen: h
    2. 2 Pumpen: h
    3. 3 Pumpen: h
    4. 12 Pumpen: h

  3. Rechtecke mit 36 cm² Fläche: Ergänze die fehlende Seite.

    1. Breite 4 cm, Länge cm
    2. Breite 12 cm, Länge cm
    3. Breite 1,5 cm, Länge cm
    4. Länge 2 cm, Breite cm

  4. Welche Zuordnung zeigt welcher Graph? Schreib proportional, antiproportional oder keins von beiden.

    1. Ziffer 1:
    2. Ziffer 2:
    3. Ziffer 3:

  5. Proportional oder antiproportional? Kreuze an.

    1. Anzahl Brötchen und Preis
    2. Zahl der Kinder und Größe der Stücke einer Pizza
    3. Geschwindigkeit und Fahrzeit für 120 km
    4. Zahl der Maler und Zeit für eine Wand
    5. Liter Benzin und Kosten

  6. Stimmt das? Kreuze an.

    1. Bei antiproportionalen Zuordnungen gehört zum Doppelten die Hälfte.
    2. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung.
    3. Das Produkt der Wertepaare bleibt gleich.
    4. Jede Zuordnung „je mehr, desto weniger“ ist antiproportional.
    5. Der Graph ist eine Kurve, die sich den Achsen nähert.

Auf dem Blatt gibt es noch eine Aufgabe zum Ankreuzen, Zählen oder Schreiben. Lösungen im Übungsblatt zum Ausdrucken.

Übungsblatt (PDF)In der App üben

Was im Video gesagt wird

Abschrift

Einstieg

Zwei Pumpen brauchen sechs Stunden. Vier Pumpen also zwölf? Falsch.

Erklärung

Moment: Mehr Pumpen schaffen mehr Wasser. Das Becken ist früher leer. Doppelt so viele Pumpen, halbe Zeit: Vier Pumpen brauchen drei Stunden. Eine Pumpe braucht zwölf Stunden, zwei sechs, drei vier, vier drei. Dreimal so viele Pumpen, ein Drittel der Zeit. Das heißt antiproportional.

Der Trick: Nimm jedes Paar mal. Es kommt immer zwölf heraus. Als Bild: Zwei mal sechs ist ein Rechteck aus zwölf Kästchen. Drei mal vier, vier mal drei, sechs mal zwei: immer zwölf Kästchen. Die Ecken der Rechtecke liegen auf einer Kurve. Sie heißt Hyperbel.

Keine Gerade: erst steil, dann immer flacher. Sie erreicht die Achsen nie. Zum Vergleich: Proportional heißt doppelt und doppelt. Antiproportional: doppelt und halb. Vorsicht: Je mehr, desto weniger reicht nicht. Das Produkt muss gleich bleiben. Ein Auto wird jährlich billiger. Doch Alter mal Wert bleibt nicht gleich.

Beispiele

Zweites Beispiel: eine Pizza mit acht Stücken. Zwei Kinder bekommen je vier. Vier Kinder: je zwei Stücke. Acht Kinder: nur noch eins für jeden. Kinder mal Stücke ist immer acht: die ganze Pizza. Also antiproportional. Zurück zum Becken: Sechs Pumpen? Produkt zwölf durch sechs: zwei Stunden.

Tabelle prüfen: eins zu fünf, zwei zu zehn, vier zu zwanzig. Produkte: fünf, zwanzig, achtzig. Nicht gleich. Aber geteilt immer fünf: proportional! Tabelle B: zwei zu dreißig, drei zu zwanzig, sechs zu zehn. Mal genommen: sechzig, sechzig, sechzig. Das Produkt bleibt: antiproportional.

Achtzig Pumpen in neun Minuten? Irgendwann passen keine mehr ans Becken.

Dein Zug

Dein Zug: Sechs Kinder bekommen je vier Bonbons. Und bei acht Kindern? Lösung: je drei.

Zum Schluss

Mehr ist nicht immer mehr: Vier Pumpen brauchen drei Stunden, nicht zwölf. Merk dir: Antiproportional heißt, zum Doppelten gehört die Hälfte. Das Produkt bleibt. Zum Üben: Prüf zwei Tabellen. Bleibt das Produkt gleich oder der Quotient? Nächste Frage: Wie erkennt man am Graphen, ob etwas proportional ist?

Danach

Mathe · Klasse 7 Wie erkennt man am Graphen, ob etwas proportional ist?

Mehr aus „Zuordnungen“

Mathe · Klasse 7 Wie erkennt man am Graphen, ob etwas proportional ist?
Mathe · Klasse 7 Wie rechnet man den umgekehrten Dreisatz?
Mathe · Klasse 7 Was ist eine lineare Funktion?