Klasse 7 › Mathe › Zuordnungen
Wie erkennt man am Graphen, ob etwas proportional ist?
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Eine Zuordnung ist proportional, wenn ihr Graph eine Gerade ist und durch den Ursprung (0|0) geht. Brötchen zu 0,50 € liegen auf y = 0,5 · x. Mit 2 € Liefergebühr ist der Graph zwar auch eine Gerade, startet aber bei 2 – doppelt so viele Brötchen kosten dann nicht das Doppelte.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Gerade und durch den Ursprung
Bei einer proportionalen Zuordnung ist y immer dasselbe Vielfache von x: y = k · x. Trägt man die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, liegen alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung (0|0). Der Faktor k heißt Proportionalitätsfaktor – er ist der Quotient y : x.
Äpfel: 1 kg kostet 2 €
- x = 0 kg: y = 0 €
- x = 1 kg: y = 2 €
- x = 3 kg: y = 6 €
- k = y : x = 2
Ist die Zuordnung proportional?
- Ist der Graph eine Gerade?
- Geht er durch den Ursprung (0|0)?
- Nur wenn beides stimmt, ist sie proportional.
Gerade und durch (0|0): proportional
Typische Falle
- Falsch: „Jede Gerade zeigt eine proportionale Zuordnung.“ Ein Taxi mit 4 € Grundpreis: Die Gerade beginnt bei 4, nicht bei 0.
- Doppelt so weit kostet beim Taxi nicht doppelt so viel.
- Prüf mit dem Quotienten: Ist y : x überall gleich? Nur dann ist sie proportional.
Welcher Graph?
- proportional
- nicht proportional
- antiproportional
Zwei Geraden im Vergleich
Nur die blaue Gerade geht durch (0|0): proportional, y : x = 0,5. Die schwarze startet bei 2: nicht proportional.
Tipp
Trag einen Punkt der Tabelle ein und verbinde ihn mit dem Ursprung. Liegen alle anderen Punkte auf dieser Linie, ist die Zuordnung proportional.
Üben
6 Aufgaben
Liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung? Schreib ja oder nein.
- (1|3), (2|6), (4|12):
- (1|5), (2|7), (3|9):
- (2|1), (4|2), (10|5):
- (0|4), (1|6), (2|8):
Bestimme den Proportionalitätsfaktor k.
- Ursprungsgerade durch (4|10): k =
- Tabelle: zu 3 gehört 12: k =
- Ursprungsgerade durch (5|2): k =
- Ursprungsgerade durch (8|6): k =
Berechne den fehlenden Wert.
- y = 3 · x, x = 7: y =
- y = 3 · x, y = 45: x =
- Ursprungsgerade durch (2|5), x = 6: y =
- Ursprungsgerade durch (4|6), x = 1: y =
So zeichnest du die Ursprungsgerade: Ergänze.
- Gerade durch (0|0) und (2|5): vom Ursprung 2 nach rechts und nach oben
- Gerade durch (0|0) und (2|5): nächster Punkt bei x = 4, y =
- k = 1,5: Punkt bei x = 4, y =
- k = 0,5: Punkt bei x = 6, y =
Welche Zuordnung zeigt welcher Graph? Schreib proportional, antiproportional oder keins von beiden.
- Ziffer 1:
- Ziffer 2:
- Ziffer 3:
Proportional oder nicht? Kreuze an.
- Steigende Gerade durch (0|0)
- Gerade, die bei y = 4 beginnt
- Fallende Kurve, die sich den Achsen nähert
- Gerade durch (0|0) mit k = 0,5
- Punkte (1|2), (2|4), (3|7)
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Der Graph ist eine Gerade, also proportional? Falsch!
Erklärung
Ein Brötchen kostet fünfzig Cent. Zwei kosten einen Euro, vier zwei Euro. Jedes Wertepaar wird ein Punkt: x sind die Brötchen, y der Preis. Die Punkte liegen auf einer Geraden – genau durch null, null. Logisch: Null Brötchen kosten null Euro. Der Punkt heißt Ursprung.
Doppelt so viele Brötchen, doppelt so teuer. Genau das heißt proportional. y durch x ist immer null Komma fünf: der Faktor k. Als Formel: y gleich null Komma fünf mal x. Jetzt mit Lieferung: zwei Euro Gebühr, dazu fünfzig Cent pro Brötchen.
Wieder eine Gerade, gleich steil. Aber sie startet bei zwei Euro. Test: Vier Brötchen kosten vier Euro, acht aber nur sechs. Nicht doppelt! Die Quotienten: vier durch vier ist eins, sechs durch acht drei Viertel. Also zwei Prüfungen: Ist es eine Gerade? Geht sie durch den Ursprung?
Warum der Ursprung? k mal null ist immer null. Nichts kostet nichts.
Beispiele
Zweites Beispiel: Du kennst nur einen Punkt, P vier, drei. Verbinde ihn mit dem Ursprung und zieh einfach weiter: fertig. Der Faktor: drei durch vier, also null Komma fünfundsiebzig. Bei acht liegt sie bei sechs: doppelt so weit, doppelt so hoch.
Jetzt eine zweite Gerade daneben: gleich steil, aber eins höher. Vergleich bei vier: drei und vier. Bei acht: sechs und sieben. Die untere verdoppelt sich, die obere nicht: vier, dann nur sieben. Zum Schluss drei Graphen. Welcher davon ist proportional?
Nur eins: Gerade durch null. Zwei startet oben, drei ist eine Hyperbel.
Dein Zug
Dein Zug: Eine Gerade geht durch null, drei und zwei, fünf. Proportional? Lösung: nein, sie startet bei drei.
Zum Schluss
Brötchen: Gerade durch null, proportional. Mit Lieferung: Gerade ab zwei, nicht proportional. Merk dir: Proportional ist nur eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Zum Üben: Zeichne eine Gerade durch den Ursprung und eine daneben. Vergleiche sie. Nächste Frage: Wie rechnet man den umgekehrten Dreisatz?
Danach
