Klasse 6 › Mathe › Daten und Zufall
Was sagt der Durchschnitt wirklich?
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Der Durchschnitt, das arithmetische Mittel, verteilt eine Liste von Werten gleichmäßig: Summe geteilt durch Anzahl. Der Median ist dagegen der Wert in der Mitte der geordneten Liste und reagiert kaum auf einzelne Ausreißer, während der Mittelwert von ihnen stark nach oben oder unten gezogen wird. Erst Mittelwert, Median und Spannweite zusammen beschreiben eine Liste gut.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Ein Wert für eine ganze Liste
Der Durchschnitt, genauer das arithmetische Mittel, verteilt alles gleichmäßig: Summe geteilt durch Anzahl. Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen. Erst alle drei zusammen beschreiben eine Liste gut.
Beispiel: Punkte in fünf Spielen – 1, 2, 2, 3, 12
- Mittelwert: 20 : 5 = 4
- Median: 2
- Spannweite: 12 − 1 = 11
So rechnest du
- Mittelwert: alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
- Median: Werte der Größe nach ordnen, den mittleren nehmen. Bei gerader Anzahl liegt er genau zwischen den beiden mittleren.
- Spannweite: größter Wert minus kleinster Wert.
Mittelwert = Summe : Anzahl
Typische Falle
- Falsch: Der Durchschnitt beschreibt jeden Einzelfall. Im Beispiel gab es in keinem einzigen Spiel 4 Punkte.
- Ein Ausreißer wie die 12 zieht den Mittelwert nach oben, den Median kaum.
- Im Schnitt 1,5 Geschwister heißt nicht, dass irgendein Kind anderthalb Geschwister hat.
- Deshalb: Mittelwert, Median und Spannweite zusammen ansehen.
Tipp
Überschlag vor dem Rechnen: Der Mittelwert liegt nie unter dem kleinsten und nie über dem größten Wert. Liegt dein Ergebnis außerhalb, hast du dich verrechnet.
Üben
6 Aufgaben
Rechne mit den Werten 1, 2, 2, 3, 100 und vergleiche.
- Summe:
- Mittelwert:
- Median:
- Spannweite:
- So viele der fünf Werte sind größer als der Mittelwert:
- Die meisten Werte beschreibt besser der .
Berechne Mittelwert, Median und Spannweite.
- 3, 5, 7, 9, 11: Mittelwert , Median , Spannweite
- 2, 9, 4, 7, 3: Mittelwert , Median , Spannweite
- 12, 1, 4, 3: Mittelwert , Median , Spannweite
- 1, 1, 2, 8, 18: Mittelwert , Median , Spannweite
Finde die fehlende Zahl.
- Der Mittelwert von 4, 6 und ist 7.
- Der Mittelwert von 10, 20, 30 und ist 25.
- Der Median von 3, 8 und ist 5.
- Vier Werte haben den Mittelwert 6. Ihre Summe ist .
Stimmt das? Kreuz an.
- Hat eine Klasse im Schnitt 1,5 Geschwister, hat jedes Kind 1,5 Geschwister.
- Der Mittelwert ist nie kleiner als der kleinste Wert.
- Ein einziger sehr großer Wert kann den Mittelwert stark verändern.
- Der Median ist immer einer der Werte aus der Liste.
- Für den Median musst du die Werte zuerst der Größe nach ordnen.
- Die Spannweite ist der größte Wert der Liste.
Löse die Sachaufgabe.
- In einer Arbeit gibt es 3-mal die Note 1, 5-mal die 2 und 2-mal die 3. Der Notendurchschnitt ist .
- Eine Familie gibt im Januar 180 €, im Februar 150 € und im März 210 € für Essen aus. Im Schnitt sind es € pro Monat.
- Mia läuft an vier Tagen 2, 3, 4 und 3 km. Für einen Schnitt von 3,2 km an fünf Tagen muss sie am fünften Tag km laufen.
- Notenspiegel: 2-mal die 1, 4-mal die 2, 3-mal die 3 und 1-mal die 5. Der Notendurchschnitt ist .
Vergleiche die beiden Reihen mit Mittelwert und Spannweite.
- Tim trifft 4, 6, 5, 5 Körbe, Ali 1, 9, 2, 8 Körbe. Mittelwert Tim , Ali
- Tim trifft 4, 6, 5, 5 Körbe, Ali 1, 9, 2, 8 Körbe. Spannweite Tim , Ali
- Lea springt 3,1 m, 3,3 m, 3,2 m, Jana 3,0 m, 3,7 m, 3,2 m. Mittelwert Lea m, Jana m
- Lea springt 3,1 m, 3,3 m, 3,2 m, Jana 3,0 m, 3,7 m, 3,2 m. Spannweite Lea m, Jana m
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Im Schnitt vier Punkte? Dann jedes Spiel vier? Leider falsch.
Erklärung
Fünf Spiele: eins, zwei, zwei, drei und zwölf Punkte. Der Mittelwert: Erst alles zusammenzählen. Zwanzig Punkte. Dann durch die Anzahl teilen: zwanzig durch fünf, vier. Probe: Fünf Spiele mal vier Punkte sind wieder zwanzig.
Der Mittelwert verteilt alles gleichmäßig. Als hätte jedes Spiel vier Punkte. Aber schau hin: In keinem einzigen Spiel gab es vier Punkte! Schuld ist die Zwölf, ein Ausreißer. Sie zieht den Mittelwert hoch. Darum gibt es den Median. Ordne die Werte der Größe nach.
Der Median ist der Wert in der Mitte: zwei. Mit drei statt zwölf: Mittelwert zwei Komma zwei, Median weiter zwei. Die Spannweite: größter minus kleinster Wert. Zwölf minus eins, elf. Erst alle drei zusammen beschreiben die Liste gut.
Im Schnitt eineinhalb Geschwister? Kein Kind hat anderthalb Geschwister. Überschlag: Der Mittelwert liegt immer zwischen kleinstem und größtem Wert.
Beispiele
Zweites Beispiel: der Schulweg von sechs Kindern, in Minuten. Alle Zeiten zusammen: sechsundsechzig Minuten. Durch sechs Kinder: Mittelwert elf Minuten. Probe: Sechs mal elf sind sechsundsechzig. Passt.
Aber fünf von sechs Kindern brauchen weniger als elf Minuten! Median bei sechs Werten: genau zwischen den beiden mittleren, sieben und neun. Also acht Minuten. Das passt viel besser zu den meisten. Spannweite: dreißig minus vier, sechsundzwanzig Minuten. Weit gestreut.
Der Ausreißer mit dreißig Minuten zieht den Mittelwert, den Median kaum.
Dein Zug
Dein Zug: Median von fünf, zwei, neun, vier, drei? Geordnet: zwei, drei, vier, fünf, neun. Median vier.
Zum Schluss
Mittelwert verteilt gleichmäßig, Median zeigt die Mitte, Spannweite die Streuung. Merk dir: Durchschnitt ist Summe durch Anzahl, kein Wert für jeden Einzelfall. Zum Üben: Rechne Mittelwert und Median von eins, zwei, zwei, drei, hundert. Vergleich sie. Nächste Frage: Wie groß ist die Chance, eine Sechs zu würfeln?
Danach
