Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Kann man aus drei Längen immer ein Dreieck bauen?
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Nein, aus drei Längen entsteht nur dann ein Dreieck, wenn die zwei kürzeren zusammen länger sind als die längste. Das ist die Dreiecksungleichung. Bei 3 cm, 4 cm und 9 cm treffen sich die Zirkelbögen nicht, bei 3 cm, 4 cm und 7 cm liegt die dritte Ecke flach auf der Seite. Mit 3 cm, 4 cm und 5 cm klappt es.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Die Bögen müssen sich treffen
Ein Dreieck aus drei Seiten konstruierst du so: Zeichne die längste Seite und schlag um ihre beiden Enden je einen Kreisbogen mit den anderen Längen. Wo sich die Bögen schneiden, liegt die dritte Ecke. Das klappt nur, wenn die zwei kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste – das ist die Dreiecksungleichung.
3 cm, 4 cm, 5 cm
Die Bögen schneiden sich in C.
Konstruktion aus drei Seiten (SSS)
- Längste Seite zeichnen, Endpunkte A und B.
- Kreisbogen um A mit der zweiten Länge.
- Kreisbogen um B mit der dritten Länge.
- Schnittpunkt C mit A und B verbinden.
Zwei Seiten zusammen sind länger als die dritte
Die zwei kürzeren gegen die längste
- 3 + 4 > 5 ja
- 3 + 4 < 9 nein
- 3 + 4 = 7 nein
Wenn es nicht klappt
Links 3, 4, 9: Die Bögen treffen sich nicht. Rechts 3, 4, 7: Sie berühren sich nur auf der Seite.
Typische Falle
- Falsch: „Aus drei beliebigen Längen entsteht ein Dreieck.“ 3 cm und 4 cm reichen zusammen nicht über 9 cm.
- Ist die Summe genau gleich (3 + 4 = 7), liegt die dritte Ecke auf der Seite – ein flaches Nichts, kein Dreieck.
- Es reicht, die beiden kürzeren Seiten mit der längsten zu vergleichen.
Drei Längen, drei Fälle
- Dreieck
- Bögen treffen sich nicht
- flach, kein Dreieck
Tipp
Probier es mit drei Papierstreifen: Sind zwei zusammen zu kurz, kommen ihre Enden über dem langen Streifen nicht zusammen.
Üben
4 Aufgaben
Ergeben die drei Längen ein Dreieck? Schreib ja oder nein.
- 3 cm, 4 cm, 9 cm:
- 3 cm, 4 cm, 5 cm:
- 5 cm, 5 cm, 10 cm:
- 2 cm, 6 cm, 7 cm:
- 4 cm, 4 cm, 7 cm:
- 1 cm, 2 cm, 4 cm:
Zwei Seiten sind gegeben. Zwischen welchen Längen liegt die dritte?
- 3 cm und 7 cm: länger als cm, kürzer als cm
- 5 cm und 8 cm: länger als cm, kürzer als cm
- 6 cm und 6 cm: länger als cm, kürzer als cm
- 2 cm und 9 cm: länger als cm, kürzer als cm
Welche ganze Zahl passt als dritte Seite?
- 5 cm und 8 cm: größte ganze Länge cm
- 5 cm und 8 cm: kleinste ganze Länge cm
- 2 cm und 3 cm: größte ganze Länge cm
- 2 cm und 3 cm: kleinste ganze Länge cm
Stimmt das? Kreuze an.
- In jedem Dreieck sind zwei Seiten zusammen länger als die dritte.
- 3 cm, 3 cm und 6 cm ergeben ein Dreieck.
- Aus drei gleich langen Seiten entsteht immer ein Dreieck.
- Es reicht, die zwei kürzeren Seiten mit der längsten zu vergleichen.
- 1 cm, 1 cm und 3 cm ergeben ein Dreieck.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Drei, vier und neun Zentimeter? Wird locker ein Dreieck. Falsch!
Erklärung
Erst ein Fall, der klappt: drei, vier und fünf Zentimeter. Die längste Seite kommt zuerst: fünf Zentimeter, von A nach B. Jetzt der Zirkel: Um A ziehst du einen Bogen mit drei Zentimetern. Um B einen Bogen mit vier Zentimetern. Die Bögen schneiden sich.
Im Schnittpunkt liegt C. Verbinden, fertig ist das Dreieck. Warum klappt das? Drei plus vier ist sieben, also mehr als fünf. Die kurzen Seiten sind wie Arme: Zusammen reichen sie über die lange. Und drei, vier, neun? Erst die neun Zentimeter, dann die Bögen.
Die Bögen treffen sich nie. Dazwischen bleibt eine Lücke. Drei plus vier ist nur sieben. Zwei Zentimeter zu kurz für neun. Grenzfall: drei, vier und sieben. Jetzt berühren sich die Bögen gerade so. Aber genau auf der Seite. Das Dreieck ist platt, also keins.
Die Regel heißt Dreiecksungleichung. Zwei Seiten zusammen sind länger als die dritte. Schneller Test: die zwei kürzeren zusammenzählen und mit der längsten vergleichen.
Beispiele
Zweites Beispiel: sechs, fünf und vier Zentimeter. Klappt das? Vier plus fünf ist neun. Neun ist mehr als sechs, also ja. Sechs Zentimeter als Grundseite, mit den Enden A und B. Bogen um A mit vier Zentimetern, Bogen um B mit fünf.
Schnittpunkt C, verbinden, und das Dreieck steht. Und wenn nur zwei Seiten feststehen? Sagen wir sieben und drei Zentimeter. Klappt der kurze Arm ganz zu, bleiben sieben minus drei: vier. Ganz aufgeklappt: sieben plus drei, also zehn. Beides wäre platt.
Die dritte Seite liegt also zwischen vier und zehn Zentimetern.
Dein Zug
Dein Zug: zwei, fünf und acht Zentimeter. Gibt das ein Dreieck? Lösung: Nein, zwei plus fünf ist nur sieben.
Zum Schluss
Alle drei Fälle: Größer gibt ein Dreieck, gleich oder kleiner nicht. Merk dir: Nein. Zwei Seiten zusammen müssen länger sein als die dritte. Zum Üben: Versuch ein Dreieck mit drei, vier und neun Zentimetern. Erklär, warum es scheitert. Nächste Frage: Was sagen die Kongruenzsätze?
Danach
