Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Was sagen die Kongruenzsätze?
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Die Kongruenzsätze sagen, welche drei Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen: drei Seiten (SSS), zwei Seiten mit dem Winkel dazwischen (SWS), eine Seite mit den beiden Winkeln daran (WSW) oder zwei Seiten mit dem Winkel gegenüber der größeren (SsW). Drei Winkel reichen nicht, sie legen nur die Form fest, nicht die Größe.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Deckungsgleich aus drei Angaben
Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind: Man kann eines ausschneiden und genau auf das andere legen. Die Kongruenzsätze sagen, welche drei Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen: SSS, SWS, WSW und SsW. Im Dreieck ABC liegt die Seite a gegenüber von A, b gegenüber von B und c gegenüber von C. Die Winkel heißen α (bei A), β (bei B) und γ (bei C).
Das Dreieck ABC
Jede Seite liegt der Ecke mit demselben Buchstaben gegenüber.
So prüfst du die Angaben
- Zähl: Wie viele Seiten, wie viele Winkel?
- Wo liegt der Winkel: zwischen den Seiten, an der Seite oder gegenüber?
- Passt ein Satz, ist das Dreieck eindeutig – sonst nicht.
SSS, SWS, WSW, SsW: eindeutig
Was gegeben ist
Gelb: die drei gegebenen Stücke.
Die vier Kongruenzsätze
- drei Seiten
- zwei Seiten und der Winkel dazwischen
- eine Seite und die beiden Winkel daran
- zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren
Typische Falle
- Falsch: „Drei Angaben genügen immer.“ Drei Winkel (WWW) legen nur die Form fest – das Dreieck kann groß oder klein sein.
- Zwei Seiten und ein Winkel reichen nur, wenn der Winkel zwischen ihnen liegt (SWS) oder der größeren Seite gegenüberliegt (SsW).
- Liegt der Winkel der kleineren Seite gegenüber, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben.
Tipp
Zeichne eine Skizze und markiere die gegebenen Stücke farbig. So siehst du sofort, ob der Winkel zwischen zwei Seiten liegt oder einer Seite gegenüber.
Üben
4 Aufgaben
Welcher Kongruenzsatz passt? Schreib SSS, SWS, WSW oder SsW.
- a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm:
- b = 4 cm, c = 6 cm, Winkel bei A = 50°:
- c = 5 cm, Winkel bei A = 40°, Winkel bei B = 60°:
- a = 5 cm, b = 3 cm, Winkel bei A = 70°:
- a = 6 cm, Winkel bei B = 45°, Winkel bei C = 70°:
Ist das Dreieck eindeutig konstruierbar? Schreib ja oder nein.
- 3 cm, 4 cm, 5 cm:
- Winkel 50°, 60° und 70°:
- a = 3 cm, b = 5 cm, Winkel bei A = 30°:
- b = 4 cm, c = 7 cm, Winkel bei A = 110°:
- 2 cm, 3 cm, 6 cm:
Liegt der Winkel der größeren Seite gegenüber? Schreib ja oder nein.
- a = 6 cm, b = 4 cm, Winkel bei A:
- a = 6 cm, b = 4 cm, Winkel bei B:
- b = 7 cm, c = 5 cm, Winkel bei B:
- b = 7 cm, c = 5 cm, Winkel bei C:
Stimmt das? Kreuze an.
- Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich.
- Zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln sind immer kongruent.
- Zwei Dreiecke mit denselben drei Seitenlängen sind kongruent.
- Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden Seiten.
- Kongruente Dreiecke können verschieden groß sein.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Drei Winkel gegeben, also ist das Dreieck klar? Falsch!
Erklärung
Erst das Wort: Kongruent heißt deckungsgleich. Die Dreiecke passen genau aufeinander. Dafür gibt es vier Kongruenzsätze. Jeder nennt drei Angaben, die genügen. Die Namen: Seite a liegt gegenüber von A, b gegenüber von B. Erster Satz, SSS: drei Seiten. Die Zirkelbögen legen die Ecke C fest.
Zweiter Satz, SWS: zwei Seiten und der Winkel dazwischen. Der Winkel gibt die Richtung, die Seite die Länge. C liegt fest. Dritter Satz, WSW: eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden. Die zwei Schenkel schneiden sich in genau einem Punkt: C.
Vierter Satz, SsW: zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren. Liegt der Winkel der kleineren Seite gegenüber, kann der Bogen zweimal treffen. Zwei verschiedene Dreiecke aus denselben Angaben. Nicht eindeutig! Und drei Winkel? Ein Dreieck wächst, die Winkel bleiben gleich.
Drei Winkel legen nur die Form fest, nie die Größe.
Beispiele
Jetzt prüfst du: Vier Angaben, eindeutig oder nicht? Erstens: b vier, c sechs Zentimeter, dazu fünfzig Grad bei A. Der Winkel liegt zwischen b und c. Das ist SWS, also eindeutig. Zweitens: c fünf Zentimeter, an den Enden vierzig und sechzig Grad.
Seite mit beiden Winkeln daran: WSW, wieder eindeutig. Drittens: a fünf, b drei Zentimeter und siebzig Grad bei A. Der Winkel liegt a gegenüber, der größeren Seite. SsW: eindeutig. Viertens: zwei, drei und sechs Zentimeter. Drei Seiten, also SSS?
Vorsicht: Zwei plus drei ist nur fünf. Das Dreieck gibt es nicht.
Dein Zug
Dein Zug: c sieben Zentimeter, an A und B je fünfzig Grad. Eindeutig? Lösung: Ja, WSW.
Zum Schluss
Die vier Sätze auf einen Blick. Drei Winkel allein gehören nicht dazu. Merk dir: Die Kongruenzsätze sagen, wann drei Angaben genau ein Dreieck festlegen. Zum Üben: Prüf vier Angaben-Sätze. Eindeutig konstruierbar oder nicht? Nächste Frage: Was ist eine Mittelsenkrechte?
Danach
