Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Wie groß ist die Winkelsumme in einem Viereck?
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Die Winkel eines Vierecks ergeben zusammen 360°, denn eine Diagonale zerlegt es in zwei Dreiecke mit je 180°. Das gilt nicht für jede Figur: Ein Fünfeck zerfällt in drei Dreiecke und hat 540°, ein Sechseck 720°. Allgemein hat ein n-Eck die Innenwinkelsumme (n − 2) · 180°.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Zerlegen in Dreiecke
Zieh von einer Ecke eines Vielecks alle Diagonalen: Es zerfällt in Dreiecke, jedes mit der Winkelsumme 180°. Ein Viereck ergibt 2 Dreiecke, also 360°. Ein Fünfeck ergibt 3 Dreiecke, also 540°. Ein n-Eck zerfällt in n − 2 Dreiecke und hat die Innenwinkelsumme (n − 2) · 180°.
Von einer Ecke aus zerlegt
Jedes Dreieck hat 180°: Viereck 2 · 180°, Fünfeck 3 · 180°, Sechseck 4 · 180°.
Innenwinkelsummen
- Dreieck: 1 · 180° = 180°
- Viereck: 2 · 180° = 360°
- Fünfeck: 3 · 180° = 540°
- Sechseck: 4 · 180° = 720°
So rechnest du
- Ecken zählen: n.
- Dreiecke beim Zerlegen: n − 2.
- Winkelsumme: (n − 2) · 180°.
Fünfeck: (5 − 2) · 180° = 540°
Typische Falle
- Falsch: „Jede Figur hat zusammen 360°.“ Das gilt nur für Vierecke.
- Ein Fünfeck hat 540°: 3 Dreiecke mal 180°.
- Mit jeder weiteren Ecke kommt ein Dreieck dazu, also 180° mehr.
Ecken und Dreiecke
- 2 Dreiecke
- 3 Dreiecke
- 4 Dreiecke
Tipp
Zerlegen statt auswendig lernen: Zeichne das Vieleck, zieh von einer Ecke aus die Diagonalen und zähl die Dreiecke.
Üben
6 Aufgaben
Zerleg von einer Ecke aus in Dreiecke und berechne die Winkelsumme.
- Fünfeck: Dreiecke, Winkelsumme °
- Sechseck: Dreiecke, Winkelsumme °
- Achteck: Dreiecke, Winkelsumme °
- Zehneck: Dreiecke, Winkelsumme °
Berechne den fehlenden Winkel im Viereck.
- 90°, 90°, 120° und °
- 75°, 105°, 75° und °
- Drachen: zweimal 110°, einmal 80° und °
- Trapez: 70°, 110°, 95° und °
Berechne den fehlenden Winkel.
- Fünfeck: 100°, 120°, 110°, 90° und °
- Sechseck: 120°, 130°, 110°, 125°, 115° und °
- Fünfeck mit drei rechten Winkeln, die anderen beiden gleich groß: je °
- Sechseck mit vier Winkeln zu je 130°, die anderen beiden gleich groß: je °
Regelmäßige Vielecke: Wie groß ist jeder Innenwinkel?
- Regelmäßiges Fünfeck: °
- Regelmäßiges Sechseck: °
- Regelmäßiges Achteck: °
- Regelmäßiges Zehneck: °
Wie viele Ecken hat das Vieleck?
- Winkelsumme 900°: Ecken
- Winkelsumme 1260°: Ecken
- Winkelsumme 540°: Ecken
- Regelmäßig, jeder Winkel 120°: Ecken
Stimmt das? Kreuze an.
- Jedes Viereck hat die Winkelsumme 360°.
- Ein Fünfeck hat die Winkelsumme 360°.
- Ein Sechseck lässt sich von einer Ecke aus in 4 Dreiecke zerlegen.
- Im regelmäßigen Sechseck ist jeder Winkel 120°.
- Ein Viereck kann vier stumpfe Winkel haben.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Fünf Ecken, also auch dreihundertsechzig Grad wie beim Viereck? Falsch!
Erklärung
Erst das Viereck: vier Winkel, zusammen dreihundertsechzig Grad. Aber warum? Zieh eine Diagonale. Schon zerfällt das Viereck in zwei Dreiecke. Und jedes Dreieck hat zusammen hundertachtzig Grad. Das kennst du schon. Zusammen bilden ihre Winkel die vier Ecken. Also zweimal hundertachtzig.
Das klappt bei jedem Viereck, auch beim schiefen. Immer dreihundertsechzig Grad. Und das Fünfeck? Von einer Ecke aus passen zwei Diagonalen hinein. Das ergibt drei Dreiecke, also dreimal hundertachtzig: fünfhundertvierzig Grad. Fünfhundertvierzig, nicht dreihundertsechzig! Nicht jede Figur hat also dreihundertsechzig Grad.
Beim Sechseck passen drei Diagonalen hinein. Vier Dreiecke: siebenhundertzwanzig Grad. Das Muster: Jede neue Ecke bringt ein Dreieck dazu, also hundertachtzig Grad. Es gibt immer zwei Dreiecke weniger als Ecken: n minus zwei. Also: Winkelsumme gleich n minus zwei, mal hundertachtzig Grad.
Beispiele
Zweites Beispiel: Ein Viereck hat achtzig, siebzig und hundertzehn Grad. Der vierte? Erst die bekannten Winkel addieren. Achtzig plus siebzig plus hundertzehn: zweihundertsechzig. Dreihundertsechzig minus zweihundertsechzig: Der vierte Winkel hat hundert Grad. Im Bild nachgemessen: Der vierte Winkel hat wirklich hundert Grad. Passt!
Ein Fünfeck wie ein Haus: zweimal neunzig, zweimal hundertdreißig. Und die Spitze? Erst die Summe: Ein Fünfeck hat fünfhundertvierzig Grad, nicht dreihundertsechzig. Bekannt sind zusammen vierhundertvierzig Grad. Bleiben hundert für die Spitze. Mit dreihundertsechzig gerechnet, käme minus achtzig heraus. Ein Winkel unter null? Unmöglich!
Im regelmäßigen Sechseck sind alle Winkel gleich. Siebenhundertzwanzig durch sechs: hundertzwanzig.
Dein Zug
Dein Zug: Wie groß ist die Winkelsumme im Siebeneck? Lösung: fünf Dreiecke, neunhundert Grad.
Zum Schluss
Nicht jede Figur hat dreihundertsechzig. Dreieck: hundertachtzig. Fünfeck: fünfhundertvierzig. Merk dir: Ein Viereck hat dreihundertsechzig Grad. Es zerfällt in zwei Dreiecke. Zum Üben: Zerleg ein Fünfeck in Dreiecke und rechne seine Winkelsumme aus. Nächste Frage: Kann man aus drei Längen immer ein Dreieck bauen?
Danach
