Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Warum sind Stufenwinkel gleich groß?
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Stufenwinkel sind gleich groß, weil man die eine Kreuzung entlang der Schrägen auf die andere schieben kann – an Parallelen deckt sie sich genau. Ohne Parallelen landet sie schief, dann sind die Winkel verschieden, auch wenn sie ähnlich aussehen. Wechselwinkel (Z) sind an Parallelen ebenfalls gleich groß.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Zwei Parallelen, eine Schräge
Zwei parallele Geraden g und h werden von einer Geraden s geschnitten. An jeder Kreuzung entstehen vier Winkel. Oben heißen sie 1 bis 4 (1 oben rechts, 2 oben links, 3 unten links, 4 unten rechts), unten in derselben Lage 5 bis 8. Schiebt man die obere Kreuzung entlang s nach unten, deckt sie die untere genau – darum sind Stufenwinkel wie 1 und 5 gleich groß.
Acht Winkel, zwei Größen
g ∥ h: Gelb sind die spitzen, blau die stumpfen Winkel.
F-Figur und Z-Figur
Stufenwinkel 1 und 5 (F), Wechselwinkel 3 und 5 (Z)
Wer gehört zu wem?
- Stufenwinkel, F-Figur
- Wechselwinkel, Z-Figur
- Nebenwinkel
- Scheitelwinkel
Winkel 1 = 70°
- Winkel 3, 5, 7: 70°
- Winkel 2, 4, 6, 8: 110°
- Probe: 70° + 110° = 180°
Typische Falle
- Falsch: „Gleich große Winkel erkennt man daran, dass die Figur gleich aussieht.“ Stufen- und Wechselwinkel sind nur an Parallelen gleich groß.
- Sind g und h nicht parallel, sind die Stufenwinkel verschieden, auch wenn sie ähnlich aussehen.
- Umgekehrt gilt: Sind Stufenwinkel gleich groß, sind die Geraden parallel.
So findest du alle acht
- Stufenwinkel: gleiche Lage an der anderen Kreuzung, gleich groß.
- Scheitelwinkel: gegenüber, gleich groß.
- Nebenwinkel: ergänzen zu 180°.
Nur zwei Größen: 70° und 110°
Tipp
Male gleich große Winkel in derselben Farbe an. An zwei Parallelen mit einer Schrägen reichen zwei Farben: eine für die spitzen, eine für die stumpfen Winkel.
Üben
5 Aufgaben
Winkel 1 = 70°. Berechne die anderen Winkel. Es gilt g ∥ h.
- Winkel 5 = °
- Winkel 2 = °
- Winkel 7 = °
- Winkel 6 = °
- Winkel 8 = °
Stufenwinkel oder Wechselwinkel? Es gilt g ∥ h.
- Winkel 1 und 5:
- Winkel 3 und 5:
- Winkel 4 und 8:
- Winkel 4 und 6:
Berechne den Winkel. Nutze mehrere Winkelsätze. Es gilt g ∥ h.
- Winkel 3 = 125°: Winkel 5 = °
- Winkel 2 = 48°: Winkel 8 = °
- Winkel 6 = 81°: Winkel 1 = °
- Winkel 7 = 64°: Winkel 4 = °
Sind die Geraden g und h parallel? Schreib ja oder nein.
- Winkel 1 = 72°, Winkel 5 = 72°:
- Winkel 1 = 72°, Winkel 5 = 75°:
- Winkel 3 = 110°, Winkel 5 = 110°:
- Winkel 2 = 100°, Winkel 5 = 80°:
Stimmt das? Kreuze an.
- An Parallelen sind Stufenwinkel gleich groß.
- Wechselwinkel ergeben zusammen 180°.
- Sind Stufenwinkel verschieden, sind die Geraden nicht parallel.
- An zwei Parallelen mit einer Schrägen gibt es höchstens zwei verschiedene Winkelgrößen.
- Stufenwinkel sind auch ohne Parallelen gleich groß.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Gleiche Lage, sieht gleich aus – also auch siebzig Grad? Falsch!
Erklärung
Nachgemessen: unten siebzig Grad, oben nur fünfundfünfzig. Die Geraden sind nicht parallel. Zwei Parallelen, g und h, wie Schienen. Die Schräge s kreuzt beide. An jeder Kreuzung entstehen vier Winkel. Zusammen sind es acht. Eins und fünf liegen gleich: jeweils rechts über ihrer Geraden.
Winkel in gleicher Lage heißen Stufenwinkel. Zusammen bilden sie ein F. Warum gleich groß? Schieb die obere Kreuzung die Schräge entlang nach unten. Weil g und h parallel sind, deckt eins genau fünf. Ohne Parallelen landet die verschobene Kreuzung schief. Dann klappt es nicht.
Winkel drei und fünf liegen über Kreuz zwischen den Parallelen. Das sind Wechselwinkel, sie bilden ein Z. Auch sie sind gleich groß. Denn drei ist Scheitelwinkel zu eins, und eins ist Stufenwinkel zu fünf. So gibt es an Parallelen nur zwei Größen: spitze und stumpfe Winkel.
Beispiele
Zweites Beispiel: Winkel zwei hat hundertdreißig Grad. Wie groß sind die anderen? Winkel eins ist sein Nebenwinkel: hundertachtzig minus hundertdreißig, also fünfzig. Drei und vier sind Scheitelwinkel dazu: fünfzig und hundertdreißig. Unten wiederholt sich alles: Stufenwinkel sind gleich, also dieselben vier Werte.
Zum Färben: Alle spitzen Winkel bekommen eine Farbe, alle stumpfen die andere. Probe: Fünfzig plus hundertdreißig ergibt hundertachtzig. Jedes Nachbarpaar passt. Eine Straße kreuzt ein Gleis schräg. An beiden Schienen entstehen dieselben Winkel. Umgekehrt gilt: Sind Stufenwinkel gleich groß, dann sind die Geraden parallel.
Test: oben vierundsechzig, unten achtundsechzig Grad. Nicht gleich, also nicht parallel.
Dein Zug
Dein Zug: An zwei Parallelen hat Winkel eins vierzig Grad. Wie groß ist Winkel sechs? Lösung: hundertvierzig Grad.
Zum Schluss
Gleich aussehen reicht nicht. Ohne Parallelen: fünfundfünfzig und siebzig. Mit Parallelen: gleich. Merk dir: An Parallelen sind Stufenwinkel gleich. Verschoben passt die Kreuzung genau. Zum Üben: Zeichne zwei Parallelen mit einer Schrägen. Färb gleich große Winkel in einer Farbe. Nächste Frage: Wie groß ist die Winkelsumme in einem Viereck?
Danach
