Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Was sind Scheitelwinkel und Nebenwinkel?
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Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergeben zusammen 180°, Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Hat ein Winkel 35°, ist sein Nebenwinkel 145° und sein Scheitelwinkel wieder 35°. Gleich groß sind Nebenwinkel nur, wenn beide 90° haben.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Vier Winkel an einer Kreuzung
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel – benenne sie reihum mit α, β, γ und δ. Nebenwinkel liegen nebeneinander an derselben Geraden, zum Beispiel α und β. Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel: 180°. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber, zum Beispiel α und γ. Sie sind gleich groß.
Eine Kreuzung, vier Winkel
Gleiche Farbe = Scheitelwinkel, gleich groß
Wer gehört zu wem?
- Nebenwinkel: zusammen 180°
- Scheitelwinkel: gleich groß
- Scheitelwinkel: gleich groß
α = 35°
- β = 180° − 35° = 145°
- γ = α = 35°
- δ = β = 145°
So findest du alle vier
- Der Scheitelwinkel ist gleich groß.
- Der Nebenwinkel ergänzt zu 180°.
- Probe: Alle vier Winkel ergeben 360°.
35° + 145° + 35° + 145° = 360°
Typische Falle
- Falsch: „Nebenwinkel sind gleich groß.“ Gleich groß sind die Scheitelwinkel – Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.
- Nebenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn beide 90° haben.
- Nebenwinkel teilen sich einen Schenkel, Scheitelwinkel berühren sich nur im Scheitel.
Tipp
Leg zwei Stifte über Kreuz: Die Winkel gegenüber sind immer gleich, zwei nebeneinander ergeben zusammen eine gerade Linie – 180°.
Üben
4 Aufgaben
Zwei Geraden schneiden sich. α ist gegeben. Berechne den Nebenwinkel β und den Scheitelwinkel γ.
- α = 35°: β = °, γ = °
- α = 110°: β = °, γ = °
- α = 90°: β = °, γ = °
- α = 62°: β = °, γ = °
Die Winkel α, β, γ, δ liegen reihum an einer Kreuzung. Nebenwinkel oder Scheitelwinkel?
- α und β:
- α und γ:
- β und δ:
- δ und α:
Stell eine Gleichung auf und berechne die beiden Nebenwinkel.
- Ein Nebenwinkel ist doppelt so groß wie der andere. Der kleinere: °
- Ein Nebenwinkel ist 40° größer als der andere. Der kleinere: °
- Ein Nebenwinkel ist viermal so groß wie der andere. Der größere: °
- Scheitelwinkel: 3x und x + 50. x = °
Stimmt das? Kreuze an.
- Scheitelwinkel sind gleich groß.
- Nebenwinkel sind immer gleich groß.
- Der Nebenwinkel von 72° ist 108°.
- Scheitelwinkel haben einen gemeinsamen Schenkel.
- Alle vier Winkel an einer Kreuzung ergeben 360°.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Nebenwinkel? Die sind doch gleich groß, also auch fünfunddreißig. Falsch!
Erklärung
Zwei Geraden kreuzen sich. Dabei entstehen vier Winkel: Alpha, Beta, Gamma, Delta. Alpha messen wir mit dem Geodreieck: fünfunddreißig Grad. Alpha und Beta liegen nebeneinander an einer Geraden. Zusammen: eine gerade Linie. Eine gerade Linie ist ein gestreckter Winkel: hundertachtzig Grad.
Also ist Beta hundertachtzig minus fünfunddreißig: hundertfünfundvierzig Grad. Solche Nachbarn heißen Nebenwinkel. Zusammen ergeben sie immer hundertachtzig Grad. Gleich groß sind sie nur, wenn beide genau neunzig Grad haben. Und Gamma? Er liegt Alpha genau gegenüber, über den Scheitel hinweg.
Gamma ist Nebenwinkel von Beta. Hundertachtzig minus hundertfünfundvierzig: fünfunddreißig. Gegenüber liegende Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind immer gleich groß. Genauso Delta: Es ist Scheitelwinkel von Beta, also hundertfünfundvierzig Grad. Warum? Alpha und Gamma ergänzen beide Beta zu hundertachtzig Grad.
Probe: Alle vier zusammen ergeben dreihundertsechzig Grad, eine volle Drehung.
Beispiele
Zweites Beispiel: Diesmal ist Alpha stumpf, nämlich hundertzehn Grad groß. Gamma liegt gegenüber, ist also Scheitelwinkel: auch hundertzehn Grad. Beta ist Nebenwinkel: hundertachtzig minus hundertzehn gleich siebzig Grad. Und Delta liegt Beta gegenüber: ebenfalls siebzig Grad. Fertig!
Probe: hundertzehn plus siebzig, und das zweimal, ergibt dreihundertsechzig. Jetzt knifflig: Ein Nebenwinkel ist fünfmal so groß wie der andere. Zusammen hundertachtzig: x plus fünf x gleich hundertachtzig. Sechs x gleich hundertachtzig, also x gleich dreißig. Der andere: hundertfünfzig Grad.
Im Bild: dreißig und hundertfünfzig, zusammen wieder eine gerade Linie.
Dein Zug
Dein Zug: Ein Winkel hat fünfzig Grad. Wie groß sind Scheitel- und Nebenwinkel? Lösung: fünfzig und hundertdreißig.
Zum Schluss
Alles auf einen Blick: Gleiche Farbe heißt gleich groß. Nachbarn ergeben hundertachtzig. Merk dir: Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkel ergeben zusammen hundertachtzig Grad. Zum Üben: Ein Winkel ist fünfunddreißig Grad groß. Nenn Scheitel- und Nebenwinkel mit Zahl. Nächste Frage: Warum sind Stufenwinkel gleich groß?
Danach
