Klasse 5 › Mathe › Rechnen mit großen Zahlen
Warum darf man bei Minus und Geteilt nicht tauschen?
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Bei Minus und Geteilt hat jede Zahl ihre eigene Rolle: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 geht mit den Zahlen der Klasse 5 gar nicht, und 12 : 4 = 3, aber 4 : 12 ist nur ein Drittel. Tauschen und Klammern verschieben darfst du nur bei Plus und Mal – das sind das Vertauschungs- und das Verbindungsgesetz. Damit rechnest du geschickt: 4 · 17 · 25 = 17 · 100.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Zwei Gesetze – nur für Plus und Mal
Beim Plus und beim Mal darfst du die Zahlen vertauschen (Vertauschungsgesetz, Kommutativgesetz) und Klammern beliebig setzen (Verbindungsgesetz, Assoziativgesetz). Das Ergebnis bleibt gleich. Bei Minus und Geteilt gilt das nicht: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 ergibt keine natürliche Zahl.
Vertauschen
- 7 + 5 = 5 + 7 12
- 4 · 9 = 9 · 4 36
- 8 − 3 ≠ 3 − 8 geht nicht
- 12 : 4 ≠ 4 : 12 geht nicht
Verbinden
- (17 + 25) + 75 = 17 + (25 + 75) 117
- (4 · 7) · 25 = 7 · (4 · 25) 700
- (20 − 8) − 2 = 10 20 − (8 − 2) = 14
- (48 : 4) : 2 = 6 48 : (4 : 2) = 24
Geschickt rechnen
- Such Zahlen, die zusammen eine runde Zahl ergeben (25 + 75, 4 · 25).
- Tausch und verbinde sie zuerst.
- Rechne den Rest dazu.
4 · 17 · 25 = 17 · (4 · 25) = 1 700
Typische Falle
- Falsch: „Tauschen geht bei allen vier Rechenarten.“ Nur bei Plus und Mal.
- Bei Minus- und Geteiltketten rechnest du von links nach rechts – eine Klammer an anderer Stelle ändert das Ergebnis.
- Plus und Mal gemischt dürfen nicht einfach umgruppiert werden: 2 + 3 · 4 ist nicht (2 + 3) · 4.
Tipp
Merkpaare für geschicktes Rechnen: 4 · 25 = 100, 2 · 50 = 100, 8 · 125 = 1 000. Such sie in jeder langen Malkette.
Üben
4 Aufgaben
Rechne geschickt: Tausch und verbinde zuerst.
- 26 + 59 + 74 =
- 2 · 43 · 50 =
- 125 + 249 + 75 + 51 =
- 2 · 9 · 5 · 7 =
- 8 · 23 · 125 =
Rechne beide Seiten aus. Sind sie gleich?
- (30 − 10) − 5 = und 30 − (10 − 5) = – gleich?
- (64 : 8) : 2 = und 64 : (8 : 2) = – gleich?
- (6 · 5) · 2 = und 6 · (5 · 2) = – gleich?
- (100 − 30) − 20 = und 100 − (30 − 20) = – gleich?
Welches Gesetz steckt dahinter? Verbinde.
- 3 + 8 = 8 + 3
- (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7)
- 6 − 2 ≠ 2 − 6
- 12 : 3 ≠ 3 : 12
- Verbindungsgesetz
- kein Gesetz: Geteilt
- Vertauschungsgesetz
- kein Gesetz: Minus
Stimmt das? Kreuz an.
- 25 · 8 = 8 · 25
- 10 − 4 = 4 − 10
- (5 + 7) + 3 = 5 + (7 + 3)
- (36 : 6) : 2 = 36 : (6 : 2)
- Das Vertauschungsgesetz heißt Kommutativgesetz.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Plus und mal darf man tauschen. Minus also auch? Falsch!
Erklärung
Bei Plus darfst du tauschen: drei plus fünf ist fünf plus drei. Bei Mal auch: drei Reihen zu vier sind vier Reihen zu drei. Das ist das Vertauschungsgesetz. Das Fachwort dafür heißt Kommutativgesetz. Jetzt Minus: acht Kekse, drei gegessen. Fünf bleiben übrig.
Getauscht: drei Kekse, und du willst acht essen? Das geht nicht. Acht minus drei landet bei fünf. Ab drei ist bei null Schluss. Später lernst du Minuszahlen. Dann ist es minus fünf, nicht fünf. Bei Geteilt genauso: zwölf Pizzen für vier Kinder, jedes bekommt drei.
Vier Pizzen für zwölf Kinder? Da bekommt jedes nur ein Drittel. Klammern verschieben darfst du auch nur bei Plus und Mal. Das ist das Verbindungsgesetz, mit Fachwort Assoziativgesetz. Bei Minus ändert die Klammer alles: Klammer vorn gibt zehn.
Klammer hinten: acht minus zwei ist sechs, zwanzig minus sechs vierzehn.
Beispiele
Zweites Beispiel, geschickt gerechnet: vier mal siebzehn mal fünfundzwanzig. Vier mal fünfundzwanzig ist hundert. Das ist ein Merkpaar. Also tauschen und verbinden: siebzehn mal Klammer vier mal fünfundzwanzig. Siebzehn mal hundert: eintausendsiebenhundert. Ganz ohne schriftliches Rechnen.
Bei Plus genauso: siebzehn plus achtunddreißig plus dreiundachtzig. Siebzehn und dreiundachtzig ergeben hundert. Dann noch achtunddreißig dazu. Gute Merkpaare: vier mal fünfundzwanzig, zwei mal fünfzig. Und acht mal hundertfünfundzwanzig. Und Geteilt? Achtundvierzig durch vier durch zwei, von links: sechs.
Erst vier durch zwei gerechnet gäbe vierundzwanzig. Klammer verschoben, falsch!
Dein Zug
Dein Zug: Rechne geschickt: fünfundzwanzig mal dreizehn mal vier. Vier mal fünfundzwanzig ist hundert, also dreizehnhundert.
Zum Schluss
Plus und Mal: tauschen erlaubt. Minus und Geteilt: nie tauschen. Merk dir: Bei Minus und Geteilt hat jede Zahl ihre feste Rolle. Zum Üben: Prüf mit den Zahlen von der Karte, ob Tauschen geht. Nächste Frage: Wie rechnet man sieben mal achtundneunzig im Kopf?
Danach
