Warum haben alle Dreiecke zusammen 180 Grad?
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Reißt du die drei Ecken eines beliebigen Papierdreiecks ab und legst sie mit den Spitzen aneinander, ergeben sie immer eine gerade Linie – und die hat hundertachtzig Grad. Das gilt für jedes Dreieck, ob winzig oder riesig, denn beim Vergrößern werden nur die Seiten länger, die Winkel bleiben gleich.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Drei Ecken abreißen
Jede Ecke ist ein Stück vom Kreis. Ein Zwölftel des Kreises sind 30°, hier: 90°, 60° und 30°.
Spitzen aneinander
Zusammen 6 von 12 Stücken: ein halber Kreis, eine gerade Linie, 180°. Das klappt bei jedem Dreieck, egal wie groß.
So findest du den dritten Winkel
- Zähl die beiden bekannten Winkel zusammen.
- Zieh die Summe von 180° ab.
- Probe: Alle drei zusammen müssen 180° ergeben.
Probe: 65° + 45° + 70° = 180°
Beispiel: 65° und 45°
- 65° + 45° = 110°
- 180° − 110° = 70°
Typische Falle
- Falsch: Ein großes Dreieck hat mehr Grad als ein kleines. Die Winkel hängen von der Form ab, nicht von der Größe.
- Vergrößerst du ein Dreieck, werden die Seiten länger – die Winkel bleiben gleich.
- Deshalb hat ein Dreieck höchstens einen Winkel mit 90° oder mehr: Zwei davon hätten schon zusammen 180° oder mehr.
Tipp
Probier es aus: Schneide ein Dreieck aus Papier aus, reiß die drei Ecken ab und leg sie mit den Spitzen aneinander. Mach es mit einem zweiten, ganz anderen Dreieck – wieder eine gerade Linie.
Üben
6 Aufgaben
Berechne den dritten Winkel.
- 40° + 80° + = 180°
- 90° + 35° + = 180°
- 120° + 25° + = 180°
- 55° + 80° + = 180°
- 15° + 100° + = 180°
- 73° + 48° + = 180°
Gibt es dieses Dreieck? Rechne nach und schreib ja oder nein.
- 50°, 60°, 70°:
- 90°, 45°, 55°:
- 30°, 30°, 120°:
- 100°, 80°, 10°:
- 45°, 45°, 90°:
- 60°, 70°, 40°:
Besondere Dreiecke: Wie groß ist der gesuchte Winkel?
- Alle drei Winkel sind gleich groß. Jeder hat .
- Geodreieck: ein rechter Winkel, zwei gleich große. Jeder davon hat .
- Ein Winkel ist ein rechter, einer hat 30°. Der dritte hat .
- Einer hat 40°, die zwei anderen sind gleich groß: je .
- Zwei Winkel haben je 50°. Der dritte hat .
Stimmt das? Kreuz an.
- Ein großes Dreieck hat eine größere Winkelsumme als ein kleines.
- In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.
- Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben.
- Vergrößert man ein Dreieck, bleiben seine Winkel gleich.
- Ein Dreieck mit 100°, 50° und 40° gibt es.
Lies genau und berechne den gesuchten Winkel.
- Ein Winkel hat 50°, der zweite ist doppelt so groß. Der dritte hat .
- Ein Winkel hat 30°, der zweite ist dreimal so groß. Der dritte hat .
- Rechtwinkliges Dreieck: Ein spitzer Winkel ist 20° größer als der andere. Der kleinere hat .
Berechne den dritten Winkel. Ist er spitz, recht oder stumpf?
- 30° und 40°: Der dritte Winkel hat und ist .
- 50° und 60°: Der dritte Winkel hat und ist .
- 25° und 65°: Der dritte Winkel hat und ist .
- 35° und 45°: Der dritte Winkel hat und ist .
- 60° und 60°: Der dritte Winkel hat und ist .
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Ein Riesendreieck hat mehr Grad als ein kleines? Leider falsch.
Erklärung
Jedes Dreieck hat drei Ecken, also drei Winkel. Zusammen: die Winkelsumme. Ein Winkel misst, wie weit die Ecke aufgeht. Die Seitenlänge zählt nicht. Der ganze Kreis hat dreihundertsechzig Grad. Ein Zwölftel davon: dreißig Grad. Drei Stücke: neunzig Grad, ein rechter Winkel. Sechs: hundertachtzig, der halbe Kreis.
Bei hundertachtzig Grad bilden die Schenkel eine gerade Linie. Gestreckter Winkel! Jetzt der Versuch: Schneid ein Dreieck aus Papier aus. Irgendeins. Reiß die drei Ecken ab: hier neunzig, sechzig und dreißig Grad. Leg die Spitzen aneinander: drei, zwei und ein Stück. Zusammen sechs!
Neunzig plus sechzig plus dreißig: genau hundertachtzig. Eine gerade Linie! Das klappt mit jedem Dreieck: Die Winkelsumme ist immer hundertachtzig Grad. Wie unter der Lupe: Die Seiten wachsen, die Winkel bleiben gleich. Gleiche Winkel, gleiche Summe. Auch das Riesendreieck hat nur hundertachtzig Grad.
Drück die Spitze flach oder zieh sie hoch: Die Summe bleibt hundertachtzig. Zwei rechte Winkel? Dann laufen die Seiten parallel und treffen sich nie.
Beispiele
Zweites Beispiel: dein Geodreieck. Ein rechter Winkel, zwei gleich große Ecken. Von hundertachtzig ziehst du die neunzig ab. Bleiben neunzig für beide. Gerecht geteilt: Jede der beiden Ecken hat fünfundvierzig Grad. Probe: neunzig plus fünfundvierzig plus fünfundvierzig. Hundertachtzig, passt!
Noch eins: Zwei Ecken haben fünfundsechzig und fünfundvierzig Grad. Und die dritte? Erst zusammenzählen: fünfundsechzig plus fünfundvierzig sind hundertzehn. Dann von hundertachtzig abziehen: Es bleiben siebzig Grad. Probe: fünfundsechzig plus fünfundvierzig plus siebzig. Hundertachtzig, stimmt!
Das Rezept: zwei Winkel addieren, von hundertachtzig abziehen, Probe machen.
Dein Zug
Dein Zug: dreißig und hundert Grad. Wie groß ist der dritte Winkel? Hundertachtzig minus hundertdreißig: fünfzig Grad.
Zum Schluss
Noch mal im Bild: klein oder riesig, beide haben hundertachtzig Grad. Merk dir: Die drei Ecken ergeben zusammen eine gerade Linie, hundertachtzig Grad. Zum Üben: Reiß drei Ecken eines Papierdreiecks ab und leg sie aneinander. Nächste Frage: Was ist der Unterschied zwischen Raute und Parallelogramm?
Danach
