Klasse 7 › Mathe › Gleichungen
Wie löst man eine Gleichung mit Klammern und Brüchen?
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Stehen Klammern in der Gleichung, multiplizierst du sie zuerst aus. Bei Brüchen multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner – jedes Glied auf beiden Seiten –, dann sind die Nenner weg: x/2 + x/3 = 5 wird mit · 6 zu 3x + 2x = 30, also x = 6. Wer die Brüche einzeln zu x/5 zusammenrechnet, bekommt das falsche x = 25.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Erst aufräumen, dann lösen
Stehen Klammern in der Gleichung, multiplizierst du sie zuerst aus. Stehen Brüche darin, multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner – jedes Glied auf beiden Seiten. Dann verschwinden alle Nenner, und du löst wie gewohnt.
So gehst du vor
- Klammern ausmultiplizieren.
- Mit dem Hauptnenner multiplizieren – jedes Glied auf beiden Seiten.
- x-Glieder auf eine Seite, Zahlen auf die andere.
- Teilen und die Probe machen.
x/2 + x/3 = 5 | · 6 → 3x + 2x = 30
Beispiel
- x/2 + x/3 = 5 | · 6
- 3x + 2x = 30 zusammenfassen
- 5x = 30 | : 5
- x = 6
Typische Falle
- Falsch: „Brüche rechnet man einzeln aus.“ Mit x im Zähler geht das nicht – multiplizier die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner.
- Jedes Glied wird multipliziert, auch die Zahl ohne Bruch: x/2 + 1 = 4 | · 2 ergibt x + 2 = 8.
- Vor einer Minusklammer drehen sich alle Vorzeichen: 5 − (x − 2) = 5 − x + 2.
Den Hauptnenner finden
- Hauptnenner 6
- Hauptnenner 12
- Hauptnenner 10
Tipp
Zieh von der Zahl hinter dem Strich einen Bogen zu jedem Glied der Gleichung. So vergisst du keins – auch nicht die Zahl ohne Nenner.
Üben
7 Aufgaben
Multipliziere die Klammern aus und löse.
- 3(x + 2) = 18 → x =
- 2(x − 5) = x + 1 → x =
- 4(2x − 1) = 3(x + 2) → x =
- 5(x + 1) − 2x = 20 → x =
Achtung, Minus vor der Klammer. Löse.
- 10 − (x + 3) = 2 → x =
- 4x − (2x − 6) = 14 → x =
- 8 − (3 − x) = 12 → x =
- 3x − 2(x − 4) = 11 → x =
Multipliziere mit dem Nenner und löse.
- x/3 = 4 → x =
- x/2 + 1 = 4 → x =
- x/4 − 2 = 1 → x =
- 2x/5 = 6 → x =
Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse.
- x/2 + x/3 = 5 → x =
- x/4 + x/2 = 6 → x =
- x/3 − x/6 = 2 → x =
- x/2 − 1 = x/5 + 2 → x =
Erst die Klammer, dann den Bruch: Löse.
- 2(x − 3) = x : 2 + 4 → x =
- (x + 1)/2 = 3 → x =
- 3(x + 1)/4 = 6 → x =
- (x − 2)/3 = (x + 2)/5 → x =
Probe: Setz die Lösung links ein.
- x = 6 bei x/2 + x/3 = 5: links
- x = 8 bei x/4 + x/2 = 6: links
- x = 7 bei 8 − (3 − x) = 12: links
- x = 5 bei (x + 1)/2 = 3: links
Stimmt die Umformung? Kreuze an.
- Bei x/2 + x/3 = 5 multipliziert man mit 6.
- Aus x/2 + 1 = 4 wird mit · 2: x + 1 = 8.
- Aus 5 − (x − 2) = 1 wird 5 − x + 2 = 1.
- Aus 3(x + 4) = 21 wird 3x + 4 = 21.
- Der Hauptnenner von x/4 und x/6 ist 12.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Die Brüche einfach einzeln zusammenrechnen? Falsch.
Erklärung
Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner: x Fünftel. Dann wäre x fünfundzwanzig. Probe: fünfundzwanzig Halbe plus fünfundzwanzig Drittel ist fast einundzwanzig. Nicht fünf! Halbe und Drittel passen beide in Sechstel. Sechs ist der Hauptnenner. Also alles mal sechs, und zwar jedes Glied auf beiden Seiten.
Sechs x Halbe sind drei x, sechs x Drittel sind zwei x. Und rechts: sechs mal fünf ist dreißig. Kein Bruch mehr da! Zusammenfassen: fünf x gleich dreißig. Durch fünf: x gleich sechs. Probe: sechs Halbe sind drei, sechs Drittel sind zwei. Zusammen fünf!
Vorsicht: Auch die Zahl ohne Nenner wird malgenommen. Wer die Eins vergisst, bekommt x gleich sieben. Richtig ist sechs. Und Klammern? Die multiplizierst du zuerst aus, wie immer. Vor einer Minusklammer drehen sich alle Vorzeichen um.
Beispiele
Beides: zwei mal Klammer x minus drei gleich x Halbe plus drei. Erst die Klammer: zwei x minus sechs. Dann mal zwei, und zwar jedes Glied. Vier x minus zwölf gleich x plus sechs. Der Bruch ist weg.
x-Glieder nach links, Zahlen nach rechts: drei x gleich achtzehn. Zum Schluss durch drei: x gleich sechs. Probe: links zwei mal drei, rechts drei plus drei. Beide sechs! Die Reihenfolge: Klammern auflösen, Brüche wegmultiplizieren, dann sortieren.
Klammer im Zähler: x plus eins, durch zwei, gleich drei. Mal zwei: x plus eins gleich sechs. Also x gleich fünf.
Dein Zug
Dein Zug: Löse x Drittel plus x Sechstel gleich drei. Lösung: x gleich sechs.
Zum Schluss
Einzeln gerechnet: fünfundzwanzig, Probe falsch. Mal sechs: sechs, Probe stimmt. Merk dir: Erst Klammern auflösen, dann jedes Glied mal den Hauptnenner. Zum Üben: Löse die Gleichung auf der Karte, erst die Klammer, dann mal zwei. Nächste Frage: Wie stellt man zu einer Textaufgabe eine Gleichung auf?
Danach
