Klasse 7 › Mathe › Gleichungen
Wie löst man eine lineare Gleichung?
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Eine lineare Gleichung löst du wie eine Waage im Gleichgewicht: Auf beiden Seiten rechnest du dasselbe, bis x allein steht. Bei 4x + 7 = 31 nimmst du zuerst die 7 weg (4x = 24), dann teilst du durch 4: x = 6. Die Probe 4 · 6 + 7 = 31 bestätigt es. Von links nach rechts gerechnet kommt 0,75 heraus – die Probe ergibt dann nur 10.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Eine Waage im Gleichgewicht
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Du darfst sie umformen, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust: dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie teilen (nie mit 0). Das heißt Äquivalenzumformung. Das Ziel: x steht allein auf einer Seite.
Auf beiden Seiten dasselbe wegnehmen
3x + 2 = 8: Links und rechts je 2 wegnehmen – die Waage bleibt im Gleichgewicht. Es bleibt 3x = 6, also x = 2.
So löst du die Gleichung
- Zuerst Plus und Minus rückgängig machen: bei 4x + 7 = 31 rechnest du − 7.
- Dann Mal und Geteilt rückgängig machen: bei 4x = 24 rechnest du : 4.
- Lösung ablesen: x = 6.
- Probe: 4 · 6 + 7 = 31.
Was du links tust, tust du auch rechts.
Beispiel
- 4x + 7 = 31 | − 7
- 4x = 24 | : 4
- x = 6
- Probe: 4 · 6 + 7 = 31
Typische Falle
- Falsch: „Man rechnet von links nach rechts, bis x übrig bleibt.“ 31 : 4 − 7 ergibt 0,75 – das ist nicht die Lösung.
- Die Umformung gilt immer für beide Seiten. Schreib sie hinter einen senkrechten Strich.
- Rückwärts auflösen: Was zuletzt mit x gerechnet wurde, machst du zuerst rückgängig.
Rückgängig machen
- mit − 7
- mit + 5
- mit : 4
- mit · 3
Tipp
Mach immer die Probe: Setz deine Lösung in die Gleichung vom Anfang ein. Haben beide Seiten denselben Wert, stimmt sie.
Üben
7 Aufgaben
Die Waage ist im Gleichgewicht. Jedes Päckchen wiegt x, jedes Gewicht 1.
- Gleichung zur Waage: 2x + = 9
- Auf beiden Seiten 3 Gewichte weg: 2x =
- Ein Päckchen wiegt x =
- Probe: 2 · 3 + 3 =
Löse die Gleichung. Mach die Probe.
- 4x + 7 = 31 → x =
- 3x − 5 = 16 → x =
- 5x + 12 = 2 → x =
- 2x − 9 = −1 → x =
- 7x + 3 = 38 → x =
- 6x − 4 = 11 → x =
Löse mit einer Umformung.
- x + 9 = 15 → x =
- x − 4 = 10 → x =
- 5x = 35 → x =
- x : 6 = 3 → x =
- −3x = 12 → x =
Löse die Gleichung mit Geteilt.
- x : 3 − 2 = 5 → x =
- x : 4 + 1 = 6 → x =
- 2 + x : 5 = 4 → x =
- x : 2 − 7 = −3 → x =
Löse. Die Lösung kann negativ oder ein Bruch sein.
- −2x + 5 = 13 → x =
- 3x + 8 = 3 → x =
- 4x − 1 = 1 → x =
- −x − 6 = 2 → x =
Stell eine Gleichung auf und löse sie.
- Ich denke mir eine Zahl, nehme sie mal 4 und addiere 7. Es kommt 31 heraus. Die Zahl:
- Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 8, ist 13. Die Zahl:
- Tim kauft 5 gleiche Hefte und einen Block für 2 €. Er zahlt 12 €. Ein Heft kostet €.
- Die Hälfte einer Zahl, vermehrt um 6, ergibt 10. Die Zahl:
Stimmt das? Kreuze an.
- Bei 4x + 7 = 31 rechnet man zuerst auf beiden Seiten − 7.
- Man darf beide Seiten mit 0 multiplizieren.
- Aus 3x = 12 folgt x = 4.
- Aus x − 5 = 8 folgt x = 3.
- Man darf links 5 addieren und rechts 5 subtrahieren.
- x = 3 ist die Lösung von 2x + 1 = 9.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Einfach von links nach rechts durchrechnen? Falsch.
Erklärung
Der falsche Weg: einunddreißig durch vier, minus sieben. Null Komma fünfundsiebzig. Probe: vier mal null Komma fünfundsiebzig plus sieben ist zehn, nicht einunddreißig. Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Links liegen vier x und sieben, rechts einunddreißig.
Was du links tust, tust du auch rechts. So bleibt sie gerade. Zuerst die Sieben weg: links und rechts minus sieben. Es bleibt vier x gleich vierundzwanzig. Die Waage ist noch gerade. Dann durch vier: Ein x wiegt sechs.
Rückwärts denken: Was zuletzt dazukam, nimmst du zuerst weg. Die Umformung steht hinter einem Strich. Am Ende: x gleich sechs. Plus, minus, mal, geteilt auf beiden Seiten: Äquivalenzumformung. Nur nie mal null. Probe: vier mal sechs ist vierundzwanzig, plus sieben gibt einunddreißig.
Beispiele
Zweites Beispiel: x geteilt durch drei, minus zwei, gleich fünf. Minus zwei machst du mit plus zwei rückgängig. Auf beiden Seiten! Geteilt durch drei machst du mit mal drei rückgängig. Probe: einundzwanzig durch drei ist sieben, minus zwei ist fünf. Stimmt!
Mit Minus vor dem x: minus zwei x plus fünf gleich dreizehn. Minus fünf auf beiden Seiten: minus zwei x gleich acht. Dann durch minus zwei: x gleich minus vier. Eine negative Lösung! Probe: minus zwei mal minus vier ist acht, plus fünf gibt dreizehn.
Zahlenrätsel: Eine Zahl mal vier, plus sieben, ergibt einunddreißig. Das ist genau unsere Gleichung. Die gedachte Zahl ist sechs.
Dein Zug
Dein Zug: Löse fünf x plus drei gleich achtundzwanzig. Lösung: x gleich fünf.
Zum Schluss
Von links nach rechts: Probe zehn, falsch. Rückwärts umgeformt: einunddreißig, richtig. Merk dir: Auf beiden Seiten dasselbe rechnen, bis x allein steht. Zum Üben: Löse vier x plus sieben gleich einunddreißig und mach die Probe. Nächste Frage: Wie löst man eine Gleichung mit x auf beiden Seiten?
Danach
