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Klasse 7 › Mathe › Gleichungen

Wann hat eine Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen?

Mathe Klasse 7 Gleichungen

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Kurz gesagt

Verschwindet x beim Umformen, entscheidet die Aussage, die übrig bleibt. Ist sie falsch wie bei x + 3 = x + 5, wo 3 = 5 bleibt, hat die Gleichung keine Lösung: L = { }. Ist sie wahr wie bei 2(x + 1) = 2x + 2, wo 2 = 2 bleibt, ist jede Zahl eine Lösung: L = Q. Bleibt x = 4 stehen, gibt es genau eine Lösung.

Das Wichtigste zum Nachlesen

1 Min. Lesen

Wenn x verschwindet

Beim Umformen kann x ganz verschwinden. Dann entscheidet die Aussage, die übrig bleibt: Ist sie falsch wie 3 = 5, hat die Gleichung keine Lösung – die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Ist sie wahr wie 2 = 2, ist jede Zahl eine Lösung, L = Q. Bleibt x = 4 stehen, gibt es genau eine Lösung, L = {4}.

Drei Fälle

  • genau eine: L = {4}
  • keine: L = { }
  • alle Zahlen: L = Q

Beispiele

  • x + 3 = x + 5 → 3 = 5 L = { }
  • 2(x + 1) = 2x + 2 → 2 = 2 L = Q
  • 2x + 1 = x + 5 → x = 4 L = {4}

So entscheidest du

  1. Forme um wie gewohnt.
  2. Verschwindet x, schau auf die Aussage, die übrig bleibt.
  3. Falsche Aussage: L = { }. Wahre Aussage: L = Q.

Gleich viele x auf beiden Seiten: nie genau eine Lösung

Typische Falle

  • Falsch: „Jede Gleichung hat genau eine Lösung.“ x + 3 = x + 5 hat keine – links ist immer 2 weniger.
  • 3 = 5 heißt nicht „verrechnet“, sondern: Keine Zahl passt.
  • 0 = 0 heißt nicht x = 0, sondern: Jede Zahl passt.

Tipp

Schau vor dem Rechnen auf die x-Glieder: Stehen links und rechts gleich viele x, verschwindet x beim Umformen – dann gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

Üben

5 Aufgaben

  1. Löse und gib die Lösungsmenge an: {Zahl}, { } oder Q.

    1. x + 3 = x + 5 → L =
    2. 2(x + 1) = 2x + 2 → L =
    3. 2x + 1 = x + 5 → L =
    4. 3x − 2 = 3x + 1 → L =
    5. 4x − 8 = 4(x − 2) → L =
    6. 5x + 2 = 2x + 11 → L =

  2. Zieh auf beiden Seiten die x-Glieder ab. Welche Aussage bleibt?

    1. x + 3 = x + 5 →
    2. 2(x + 1) = 2x + 2 →
    3. 4x − 1 = 4x + 7 →
    4. 3(x − 2) = 3x − 6 →

  3. Hat die Gleichung genau eine Lösung? Schreib ja oder nein.

    1. 5x + 1 = 5x + 4:
    2. 5x + 1 = 3x + 4:
    3. 2(3x − 1) = 6x − 2:
    4. 7x = 7:

  4. Ergänze die Zahl.

    1. 2x + 6 = 2(x + ) soll für alle Zahlen stimmen.
    2. 3x + = 3(x + 5) soll für alle Zahlen stimmen.
    3. x + 1 = 4x + 1 soll für alle Zahlen stimmen.
    4. 5x − 2 = x + 7 soll keine Lösung haben.

  5. Stimmt das? Kreuze an.

    1. Jede Gleichung hat genau eine Lösung.
    2. Bei x + 3 = x + 5 ist L = { }.
    3. Bleibt 0 = 0 stehen, ist x = 0.
    4. Bei 2(x + 1) = 2x + 2 ist jede Zahl eine Lösung.
    5. Bei 3x = 12 ist L = {4}.

Auf dem Blatt gibt es noch 2 Aufgaben zum Ankreuzen, Zählen oder Schreiben. Lösungen im Übungsblatt zum Ausdrucken.

Übungsblatt (PDF)In der App üben

Was im Video gesagt wird

Abschrift

Einstieg

Jede Gleichung hat genau eine Lösung? Falsch.

Erklärung

Auf der Waage: links x und drei, rechts x und fünf. Egal, wie schwer x ist: Rechts liegen immer zwei mehr. Nimm auf beiden Seiten ein x weg. Übrig bleibt drei gleich fünf. Das ist falsch, egal was x ist.

Keine Zahl passt. Die Lösungsmenge ist leer: L gleich leere Menge. Probier ruhig Zahlen aus: Rechts ist es immer zwei mehr. Zwei mal Klammer x plus eins gleich zwei x plus zwei. Klammer auflösen: Links steht genau dasselbe wie rechts.

Minus zwei x gibt zwei gleich zwei. Das stimmt immer! Jede Zahl ist eine Lösung. L gleich Q, alle rationalen Zahlen. Auf dem Zahlenstrahl: Jede Stelle ist eine Lösung. Probe mit x gleich fünf: links zwölf, rechts zwölf. Mit hundert auch.

Beispiele

Zweites Beispiel: drei x minus zwei gleich drei x plus eins. Erst hinschauen: links und rechts gleich viele x. Achtung! Minus drei x: minus zwei gleich eins. Falsch, also keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L gleich leere Menge.

Und vier x minus acht gleich vier mal Klammer x minus zwei? Ausmultipliziert: vier x minus acht. Beide Seiten sind gleich, L gleich Q. Anders bei zwei x plus eins gleich x plus fünf. Minus x, minus eins: x gleich vier. Genau eine Lösung.

Auf dem Zahlenstrahl ist das ein einziger Punkt: die Vier. Vorsicht: Null gleich null heißt nicht x gleich null, sondern alle Zahlen. Und drei gleich fünf heißt nicht verrechnet. Es heißt: Keine Zahl passt.

Dein Zug

Dein Zug: sechs x plus zwei gleich zwei mal Klammer drei x plus eins. Wie viele Lösungen? Unendlich viele.

Zum Schluss

Genau eine Lösung? Bei der ersten keine, bei der zweiten unendlich viele. Merk dir: Verschwindet x, gilt: falsche Aussage keine Lösung, wahre Aussage alle. Zum Üben: Löse die zwei Gleichungen auf der Karte und deute beide Ergebnisse. Nächste Frage: Wie löst man eine Ungleichung?

Danach

Mathe · Klasse 7 Wie löst man eine Ungleichung?

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