Klasse 6 › Mathe › Teilbarkeit und Primzahlen
Wozu braucht man den größten gemeinsamen Teiler?
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Den größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT, brauchst du zum Kürzen von Brüchen und zum Aufteilen in möglichst große gleiche Teile. Der ggT von 6 und 9 ist zum Beispiel 3, weil das die größte Zahl ist, die beide teilt – damit wird aus 6/9 gekürzt 2/3. Sein Gegenstück, das kleinste gemeinsame Vielfache kgV, brauchst du dagegen für einen gemeinsamen Nenner.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Gemeinsame Teiler
Der ggT ist die größte Zahl, die beide Zahlen teilt: ggT(6, 9) = 3.
ggT oder kgV?
Das kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache: kgV(6, 9) = 18. Der ggT ist klein, das kgV groß.
ggT von 12 und 18
- Schreib alle Teiler beider Zahlen auf.
- Streich, was nicht in beiden Listen steht.
- Die größte Zahl, die übrig bleibt, ist der ggT.
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Der ggT ist 6.
kgV von 12 und 18
- Schreib die Vielfachen der größeren Zahl auf.
- Prüf jedes: Geht es durch die kleinere Zahl?
- Das erste, das passt, ist das kgV.
18 geht nicht durch 12, 36 schon – das kgV ist 36.
Typische Falle: ggT und kgV verwechseln
- ggT und kgV sind verschiedene Zahlen: Der ggT teilt beide Zahlen, das kgV wird von beiden geteilt.
- Den ggT brauchst du zum Kürzen: 12/18 = 2/3, gekürzt durch 6.
- Das kgV brauchst du als gemeinsamen Nenner: 1/12 = 3/36 und 1/18 = 2/36.
- „In möglichst große gleiche Teile zerlegen“ fragt nach dem ggT, „Wann trifft es wieder zusammen?“ nach dem kgV.
Tipp
Probe für zwei Zahlen: ggT mal kgV ergibt dasselbe wie die beiden Zahlen malgenommen. Bei 12 und 18: 6 · 36 = 216 und 12 · 18 = 216.
Üben
6 Aufgaben
Schreib alle gemeinsamen Teiler auf, der Größe nach. Der größte davon ist der ggT.
- 20 und 30:
- 16 und 24:
- 14 und 21:
Bestimme ggT und kgV.
- ggT(12, 18) =
- kgV(12, 18) =
- ggT(8, 12) =
- kgV(8, 12) =
- ggT(15, 25) =
- kgV(15, 25) =
- ggT(7, 9) =
- kgV(7, 9) =
Stimmt das? Kreuz an.
- Der ggT ist nie größer als die kleinere der beiden Zahlen.
- ggT und kgV sind zwei Namen für dieselbe Zahl.
- Der ggT von 9 und 12 ist 36.
- Das kgV von 5 und 10 ist 10.
- Mit dem ggT kürzt du einen Bruch in einem Schritt vollständig.
- Das kgV von 4 und 6 ist 24.
ggT oder kgV? Schreib auf, was du brauchst, und rechne.
- 12/18 vollständig kürzen: Du brauchst den , gekürzt ist es
- Gemeinsamer Nenner für 1/12 und 1/18: Du brauchst das , der kleinste Nenner ist
- Zwei Bänder, 12 m und 18 m lang, sollen ohne Rest in gleich lange Stücke geschnitten werden – so lang wie möglich. Ein Stück ist m lang.
- Zwei Busse fahren gleichzeitig los. Einer kommt alle 12 Minuten, der andere alle 18 Minuten. Nach Minuten starten sie wieder gemeinsam.
Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren und bestimme so ggT und kgV.
- ggT(24, 36) =
- kgV(24, 36) =
- ggT(30, 45) = , kgV(30, 45) =
- ggT(18, 42) = , kgV(18, 42) =
Löse die Sachaufgabe. Überleg zuerst: ggT oder kgV?
- Ein Leuchtturm blinkt alle 8 Sekunden, ein zweiter alle 10 Sekunden. Gerade blinken beide gleichzeitig. Nach wie vielen Sekunden wieder?
- Tom hat 24 rote und 40 blaue Murmeln. Er verteilt sie auf möglichst viele Tüten, in jeder gleich viele rote und gleich viele blaue. Wie viele Tüten werden es?
- Ein Boden ist 120 cm breit und 90 cm lang. Er soll ohne Schneiden mit möglichst großen quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Eine Fliese ist cm lang.
- Mia läuft eine Runde in 6 Minuten, Ben in 8 Minuten. Beide starten gleichzeitig am Start. Nach wie vielen Minuten sind sie wieder gleichzeitig dort?
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Der ggT von sechs und neun ist achtzehn? Verwechselt!
Erklärung
ggT heißt größter gemeinsamer Teiler. Lies von hinten: erst die Teiler. Teiler von sechs: eins, zwei, drei, sechs. Von neun: eins, drei, neun. Eins und drei stehen in beiden Listen: die gemeinsamen Teiler. Der größte gemeinsame Teiler ist drei. Das ist der ggT.
Achtzehn passt nicht in sechs. Der ggT ist höchstens die kleinere Zahl. Wozu? Zum Kürzen. Sechs Neuntel, mit drei gekürzt: zwei Drittel. Zwei Bänder, sechs und neun Meter. Gleiche Stücke, möglichst lang? Drei Meter. Das Gegenstück: kgV, kleinstes gemeinsames Vielfaches. Von hinten: erst die Vielfachen.
Licht A blinkt alle sechs Sekunden. Vielfache von sechs: sechs, zwölf, achtzehn. Licht B alle neun: neun, achtzehn. Bei achtzehn blinken beide zusammen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist achtzehn: das kgV. Dann kommt sechsunddreißig. Neunerreihe: neun, achtzehn, siebenundzwanzig. Das kgV ist mindestens die größere Zahl.
Wozu? Für den Hauptnenner: Sechstel und Neuntel werden beide zu Achtzehnteln. Jetzt passt es: drei plus zwei Achtzehntel sind fünf Achtzehntel.
Beispiele
Zweites Beispiel: zwölf und zwanzig. Schneller geht's mit den Primfaktoren. Zwölf: zwei mal zwei mal drei. Zwanzig: zwei mal zwei mal fünf. Gemeinsam haben beide zwei mal zwei. Das ist der ggT: vier. Fürs kgV kommt alles zusammen, das Gemeinsame nur einmal.
Zwei mal zwei mal drei mal fünf sind sechzig. Das kgV. Größencheck: Vier ist kleiner als zwölf, sechzig größer als zwanzig. Passt. Zwölf Brezeln, zwanzig Muffins, auf möglichst viele gleiche Teller. ggT oder kgV? Aufteilen heißt ggT: vier Teller, je drei Brezeln und fünf Muffins.
Ein Bus fährt alle zwölf Minuten, einer alle zwanzig. Wann wieder gemeinsam? Zusammentreffen heißt kgV: nach sechzig Minuten. Das ist genau eine Stunde. Und zwölf Zwanzigstel kürzt du mit dem ggT: drei Fünftel.
Dein Zug
Dein Zug: ggT und kgV von zehn und fünfzehn? Die Lösung: ggT fünf, kgV dreißig.
Zum Schluss
Im Überblick: Der ggT bleibt klein, das kgV wird groß. Merk dir: ggT zum Kürzen und Aufteilen, kgV für gemeinsame Nenner. Zum Üben: Bestimme ggT und kgV von zwölf und achtzehn. Wofür brauchst du welches? Nächste Frage: Warum darf man nicht durch Null teilen?
Danach
