Warum haben zwei Figuren mit gleichem Umfang nicht dieselbe Fläche?
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Umfang und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Größen: Der Umfang misst den Weg einmal um die Figur, die Fläche den Platz, den sie bedeckt. Ein Rechteck aus 10 cm mal 1 cm hat 22 cm Umfang, aber nur 10 cm² Fläche, ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge hat weniger Umfang, aber mehr Fläche. Bei gleichem Umfang hat die Figur, die einem Quadrat am nächsten kommt, die größte Fläche.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Der Rand und das, was drin ist
Der Umfang ist der Weg einmal um die Figur herum, gemessen in cm. Der Flächeninhalt sagt, wie viel Platz die Figur bedeckt, gemessen in cm². Das sind zwei verschiedene Größen: Figuren mit gleichem Umfang können ganz verschieden viel Fläche haben.
So rechnest du beim Rechteck
- Umfang: alle vier Seiten addieren.
- Fläche: Länge mal Breite.
- Erst dann vergleichen – jedes für sich.
u = 2 · a + 2 · b und A = a · b
Rechtecke mit 12 cm Umfang
- 5 · 1 = 5 cm²
- 4 · 2 = 8 cm²
- 3 · 3 = 9 cm²
Typische Falle
- Falsch: Mehr Umfang bedeutet mehr Fläche.
- Gegenbeispiel: Ein Rechteck 10 cm mal 1 cm hat 22 cm Umfang, aber nur 10 cm² Fläche. Ein Quadrat 4 cm mal 4 cm hat weniger Umfang (16 cm), aber mehr Fläche (16 cm²).
- Bei gleichem Umfang hat das Rechteck die größte Fläche, das einem Quadrat am nächsten kommt. Lange, schmale Rechtecke haben wenig Fläche.
Tipp
Leg 12 gleich lange Stäbchen, zum Beispiel Zahnstocher, als Rechteck: 1 mal 5, 2 mal 4 oder 3 mal 3. Der Rand ist immer gleich lang – aber das Quadrat umschließt am meisten.
Üben
7 Aufgaben
Rechne Umfang und Fläche aus. Was fällt dir beim Umfang auf?
- 6 cm mal 2 cm: u = , A =
- 5 cm mal 3 cm: u = , A =
- 4 cm mal 4 cm: u = , A =
- 7 cm mal 1 cm: u = , A =
Leg 12 gleich lange Stäbchen als Rechteck. Ein Stäbchen ist eine Kästchenlänge. Wie viele Kästchen passen hinein?
- 1 mal 5: Kästchen
- 2 mal 4: Kästchen
- 3 mal 3: Kästchen
- Die größte Fläche hat das Rechteck mal .
Alle drei Rechtecke haben 12 cm² Fläche. Berechne den Umfang.
- 12 cm mal 1 cm: u =
- 6 cm mal 2 cm: u =
- 4 cm mal 3 cm: u =
- 24 cm mal 0,5 cm: u =
Die Figur wird verändert. Rechne Umfang und Fläche danach aus.
- Quadrat mit 5 cm Seite, die Seite wird verdoppelt: u = , A =
- Rechteck 5 cm mal 3 cm, beide Seiten werden verdoppelt: u = , A =
- Rechteck 8 cm mal 5 cm, an einer Ecke wird ein Quadrat 2 cm mal 2 cm ausgeschnitten: u = , A =
- Quadrat mit 2 cm Seite, die Seite wird dreimal so lang: Der Umfang wird -mal so groß, die Fläche -mal so groß.
Stimmt das? Kreuz an.
- Mehr Umfang bedeutet immer mehr Fläche.
- Zwei Rechtecke mit 20 cm Umfang können verschieden viel Fläche haben.
- Den Umfang misst man in cm, die Fläche in cm².
- Ein Rechteck 10 cm mal 1 cm hat mehr Fläche als ein Quadrat 4 cm mal 4 cm.
- Bei gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche aller Rechtecke.
Rechne rückwärts.
- Rechteck, 6 cm lang, 24 cm² Fläche. Breite: cm
- Rechteck, 7 cm lang, 20 cm Umfang. Breite: cm
- Quadrat mit 36 cm² Fläche. Umfang: cm
- Rechteck, 9 cm lang, 26 cm Umfang. Breite: cm
- Rechteck, 5 cm breit, 45 cm² Fläche. Länge: cm
Umfang oder Fläche? Entscheide und rechne.
- Zaun um einen Garten, 12 m mal 8 m: m
- Rasen 9 m mal 6 m, ein Sack Samen reicht für 18 m²: Säcke
- Band um ein Bild, 30 cm mal 20 cm: cm
- Kante aus Steinen um ein Beet, 4 m mal 3 m, ein Stein ist 50 cm lang: Steine
- Teppich für ein Zimmer, 5 m mal 4 m, 1 m² kostet 12 €: €
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Mehr Rand, also mehr Fläche? Falsch! Das lange hat weniger drin.
Erklärung
Umfang ist der Weg einmal um die Figur herum, in Zentimetern. Die Fläche ist der Platz, den die Figur bedeckt. In Quadratzentimetern. Beim Garten: Der Zaun ist der Umfang, der Rasen die Fläche. Umfang: alle vier Seiten addieren. Fläche: Länge mal Breite.
Der Versuch: zwölf gleich lange Stäbchen. Damit legst du Rechtecke. Fünf mal eins: zwölf Stäbchen Rand, drin nur fünf Kästchen. Vier mal zwei: wieder zwölf Stäbchen Rand, aber acht Kästchen. Drei mal drei, ein Quadrat: gleicher Rand, neun Kästchen. Am meisten!
Nachgerechnet: fünf plus eins plus fünf plus eins. Immer zwölf. Bei gleichem Umfang gewinnt das Rechteck, das einem Quadrat am nächsten kommt. Lange, schmale Rechtecke haben dagegen wenig Fläche. Viel Rand, wenig drin. Zehn mal eins: zweiundzwanzig Zentimeter Rand, nur zehn Quadratzentimeter Fläche.
Vier mal vier hat weniger Rand, aber mehr Fläche: sechzehn.
Beispiele
Zweites Beispiel, umgekehrt: drei Rechtecke mit je zwölf Quadratzentimetern. Zwölf mal eins: zweimal zwölf plus zweimal eins. Sechsundzwanzig Zentimeter. Sechs mal zwei: zwölf plus vier, also sechzehn Zentimeter. Vier mal drei: acht plus sechs, nur vierzehn Zentimeter.
Gleiche Fläche, ganz anderer Rand. Umfang und Fläche sind zwei verschiedene Größen. Im Alltag: ein Garten, zwölf mal acht Meter. Wie viel Zaun? Zaun heißt Umfang: zweimal zwölf plus zweimal acht, vierzig Meter. Für den Rasen brauchst du die Fläche: zwölf mal acht, sechsundneunzig Quadratmeter.
Frag also immer zuerst: Geht es um den Rand oder ums Innere?
Dein Zug
Dein Zug: Sieben mal eins oder vier mal vier, gleicher Umfang. Wer hat mehr Fläche? Vier mal vier: sechzehn.
Zum Schluss
Umfang ist der Rand in Zentimetern, Fläche das Innere in Quadratzentimetern. Merk dir: Gleicher Umfang, andere Fläche. Das Quadrat umschließt am meisten. Zum Üben: Leg zwölf Stäbchen als Rechteck. Welche Form hat die größte Fläche? Nächste Frage: Wie liest man Punkte im Koordinatensystem ab?
Danach
