Warum hört ein Drittel als Kommazahl nie auf?
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Beim schriftlichen Teilen von 1 durch 3 bleibt immer wieder derselbe Rest 1 übrig, deshalb kommt auch immer wieder dieselbe Ziffer 3: 0,333… Eine solche Kommazahl heißt periodisch. Sie hört nie auf, weil sich ein Rest irgendwann wiederholen muss und ab diesem Punkt alles von vorn beginnt.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Ein Rest, der immer wiederkommt
Beim schriftlichen Teilen 1 : 3 bleibt jedes Mal der Rest 1. Also kommt immer wieder die Ziffer 3 – ohne Ende: 0,333… So eine Kommazahl heißt periodisch, die Ziffern, die sich wiederholen, heißen Periode. Im Heft ziehst du einen Strich über die Periode, gesprochen „null Komma Periode drei“.
1 : 3 schriftlich
- 1 : 3 = 0, Rest 1. Null anhängen: 10.
- 10 : 3 = 3, Rest 1. Wieder 10.
- Der Rest wiederholt sich – also auch die 3.
1/3 = 0,333… mit der Periode 3
Warum es sich wiederholen muss
- Beim Teilen durch 7 kann der Rest nur 0 bis 6 sein.
- Ist der Rest 0, hört die Kommazahl auf.
- Sonst kommt irgendwann ein Rest zum zweiten Mal – und ab da wiederholt sich alles.
Typische Falle: 0,333 ist genau?
- 0,333 ist nicht genau 1/3, sondern ein bisschen weniger: 3 · 0,333 = 0,999 und nicht 1.
- Der Taschenrechner zeigt nur so viele Stellen, wie aufs Display passen, und rundet die letzte oft. 0,333 ist deshalb nur eine gerundete Zahl.
- Genau sind nur 1/3 oder 0,3 mit Periodenstrich über der 3.
- Vorher erkennen: Hat der vollständig gekürzte Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5, hört die Kommazahl auf. Steckt ein anderer Primfaktor drin, wird sie periodisch.
Tipp
Schreib beim schriftlichen Teilen jeden Rest mit auf. Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftaucht, hast du die Periode gefunden: Alles ab dort wiederholt sich.
Üben
6 Aufgaben
Teile schriftlich, bis sich ein Rest wiederholt. Schreib sechs Stellen nach dem Komma auf, ohne zu runden.
- 1 : 3 = …
- 1 : 6 = …
- 1 : 7 = …
- 2 : 3 = …
- 1 : 9 = …
- 5 : 11 = …
Welche Ziffern wiederholen sich? Schreib die Periode auf.
- 1/3: Periode
- 1/6: Periode
- 1/7: Periode
- 5/11: Periode
- 1/11: Periode
- 7/12: Periode
Kreise alle Brüche ein, deren Kommazahl periodisch ist. Kürze vorher im Kopf.
- 1/3
- 1/4
- 5/6
- 3/8
- 2/9
- 7/20
- 3/12
- 4/7
Stimmt das? Kreuz an.
- 0,333 ist genau dasselbe wie 1/3.
- 3 · 0,333 = 0,999
- Der Taschenrechner zeigt bei 1 : 3 nur einen Teil der Ziffern.
- 1/3 als Kommazahl hört irgendwann auf, wenn man nur lange genug rechnet.
- 1/4 ist als Kommazahl periodisch.
- Bei 1/6 = 0,1666… wiederholt sich nur die 6, nicht die 1.
Welche Ziffer steht an dieser Stelle nach dem Komma?
- 1/7 = 0,142857…: 20. Stelle
- 5/11 = 0,4545…: 16. Stelle
- 1/6 = 0,1666…: 10. Stelle
- 2/7 = 0,285714…: 15. Stelle
Rechne und runde, wie es in der Frage verlangt ist.
- 10 € für 3 Kinder, gerecht geteilt, auf Cent gerundet: €
- 2 l Saft auf 3 Flaschen, auf zwei Stellen gerundet: l
- 1 m Band in 6 gleiche Stücke, auf drei Stellen gerundet: m
- 5 € für 6 Kinder, gerecht geteilt, auf Cent gerundet: €
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Ein Drittel ist genau null Komma drei drei drei? Nicht ganz.
Erklärung
Dreimal null Komma drei drei drei: null Komma neun neun neun. Drei Drittel sind aber genau eins. Da fehlt etwas! Also rechnen wir selbst: eins durch drei, schriftlich. Drei passt nicht in eins: null Komma, Rest eins.
Null anhängen: zehn durch drei ist drei, Rest eins. Wieder Rest eins, wieder zehn, wieder drei. Und wieder Rest eins. Der Rest wiederholt sich, also auch die Drei. Das hört nie auf. So eine Kommazahl heißt periodisch. Die Drei ist ihre Periode.
Im Heft: Strich über die Drei. Gesprochen: null Komma Periode drei. Der Taschenrechner zeigt nur so viele Stellen, wie aufs Display passen. Die übrigen Stellen fehlen. Null Komma drei drei drei ist gerundet. Genau ist nur ein Drittel oder die Kommazahl mit Periode.
Warum muss sich ein Rest wiederholen? Schau auf die möglichen Reste. Rest null heißt: fertig. Sonst kommt irgendwann ein Rest doppelt.
Beispiele
Zweites Beispiel: eins durch sieben. Sieben mögliche Reste, null bis sechs. Zehn durch sieben: eins, Rest drei. Dreißig: vier, Rest zwei. Zwanzig: zwei, Rest sechs. Sechzig: acht, Rest vier. Vierzig: fünf, Rest fünf. Fünfzig: sieben, Rest eins.
Rest eins, wie am Anfang! Ab hier geht alles von vorn los. Ein Siebtel: null Komma eins vier zwei acht fünf sieben, immer wieder. Sechs Ziffern lang: Mehr als sechs Reste außer null gibt es nicht. Noch eins: Ein Sechstel ist null Komma eins sechs sechs sechs.
Die Eins kommt nur einmal. Die Periode ist nur die Sechs. Nenner nur aus Zweien und Fünfen? Dann hört die Kommazahl auf.
Dein Zug
Dein Zug: fünf Neuntel als Kommazahl. Fünfzig durch neun: fünf, Rest fünf. Immer wieder: null Komma Periode fünf.
Zum Schluss
Noch mal: Null Komma drei drei drei ist gerundet. Genau: ein Drittel. Merk dir: Der Rest kehrt wieder, darum hört ein Drittel nie auf. Zum Üben: Such die Periode der drei Aufgaben auf der Karte. Nächste Frage: Warum ist null Komma fünf größer als null Komma vier fünf?
Danach
