Klasse 5 › Mathe › Große Zahlen und Zahlensysteme
Warum ist 2 hoch 3 nicht 6?
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2 hoch 3 ist 8, denn hoch 3 heißt: Die 2 steht dreimal als Faktor da, 2 · 2 · 2 = 8. Die 2 heißt Basis, die kleine 3 Exponent – er zählt die Faktoren und ist selbst keiner. Darum ist 2³ nicht 2 · 3 = 6. Bei Zehnerpotenzen zählt der Exponent die Nullen: 10⁶ = 1 000 000.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Hoch heißt: so oft mit sich selbst mal
Eine Potenz ist eine Kurzschrift für eine Malkette mit lauter gleichen Faktoren. In 2³ ist 2 die Basis und 3 der Exponent: Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor dasteht. Also 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 – und nicht 2 · 3 = 6.
Potenz, Malkette, Wert
- 2³ = 2 · 2 · 2 = 8
- 3² = 3 · 3 = 9
- 5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
- 7¹ = 7
Die Teile einer Potenz
- Basis: der Faktor
- Exponent: wie oft
- Wert der Potenz
Zehnerpotenzen: Exponent = Zahl der Nullen
| Potenz | 10¹ | 10² | 10³ | 10⁶ | 10⁹ |
|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 10 | 100 | 1 000 | 1 Million | 1 Milliarde |
Typische Falle
- Falsch: „Hoch drei heißt mal drei.“ 2³ ist 2 · 2 · 2 = 8, nicht 2 · 3 = 6.
- Basis und Exponent nicht tauschen: 2⁵ = 32, aber 5² = 25.
- Mit Zehnerpotenzen schreibst du große Zahlen kurz: 3 000 000 = 3 · 10⁶.
Tipp
Sprich die Potenz laut als Malkette: „zwei hoch drei“ heißt „drei Zweien malnehmen“. Dann tappst du nicht in die Falle.
Üben
6 Aufgaben
Rechne aus.
- 8² =
- 4⁴ =
- 3⁵ =
- 2⁷ =
Schreib als Potenz und nenne Basis und Exponent.
- 7 · 7 · 7 = , Basis , Exponent
- 10 · 10 · 10 · 10 = , Basis , Exponent
- 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = , Basis , Exponent
- 9 · 9 = , Basis , Exponent
Rechne mit Zehnerpotenzen.
- 10⁷ =
- 7 000 000 = 7 · 10 hoch
- 5 · 10⁵ =
- hundert Millionen = 10 hoch
Setz <, > oder = ein.
- 2⁶ 6²
- 2⁴ 4²
- 3³ 3 · 3
- 10² 2¹⁰
Welche Zahl fehlt?
- 2 hoch = 256
- ³ = 216
- ² = 144
- 10 hoch = 10 000
Stimmt das? Kreuz an.
- In 2³ ist 3 der Exponent.
- 3² = 6
- Eine Million ist 10⁶.
- 7¹ = 1
- 1⁹ = 1
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Zwei hoch drei ist sechs, denn hoch heißt mal? Falsch!
Erklärung
Hoch drei heißt: Die Zwei steht dreimal als Faktor da. Zwei mal zwei ist vier. Mal zwei ist acht. Als Bild: ein Würfel, zwei breit, zwei tief, zwei hoch. Acht Klötzchen. Gegenprobe: Zwei mal drei ist zwei plus zwei plus zwei, also sechs.
Mal fasst lauter Plus zusammen. Hoch fasst lauter Mal zusammen. Die große Zwei unten heißt Basis. Sie wird malgenommen. Die kleine Drei oben heißt Exponent. Sie zählt, wie oft. Zusammen heißt das Potenz. Gesprochen: zwei hoch drei.
Nicht tauschen: Zwei hoch fünf ist zweiunddreißig, fünf hoch zwei fünfundzwanzig. Hoch eins: Die Sieben steht einmal da und bleibt sieben. Besonders praktisch sind Zehnerpotenzen. Der Exponent zählt die Nullen. Denn jeder Faktor Zehn hängt eine Null an. Drei Zehnen, drei Nullen.
Eine Million hat sechs Nullen. Also ist sie zehn hoch sechs.
Beispiele
Zweites Beispiel: Du schickst ein Foto an drei Freunde. Jeder schickt es an drei Neue weiter. Die auch wieder an drei. Jede Runde kommt ein Faktor Drei dazu. Vier Runden, vier Dreien: Das ist drei hoch vier.
Rechne von links: neun, siebenundzwanzig, einundachtzig. Mit der Falle hättest du nur zwölf. Viel zu wenig! Genauso bei drei hoch zwei: drei mal drei ist neun, nicht sechs. Und vier hoch drei? Vierundsechzig. Wieder etwas anderes als einundachtzig.
Nach zehn Runden wären es drei hoch zehn: fast sechzigtausend. Große Zahlen werden kurz: Drei Millionen sind drei mal zehn hoch sechs.
Dein Zug
Dein Zug: Wie viel ist fünf hoch drei? Fünf mal fünf mal fünf: hundertfünfundzwanzig.
Zum Schluss
Der Exponent ist kein Faktor. Er zählt nur die Faktoren. Merk dir: Zwei hoch drei heißt zwei mal zwei mal zwei: acht. Zum Üben: Rechne die drei Potenzen von der Karte und schreib jede als Malkette. Nächste Frage: Warum heißen Quadratzahlen Quadratzahlen?
Danach
