Warum ist die Dreiecksfläche die Hälfte?
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Schneidest du ein Rechteck entlang der Diagonale durch, entstehen zwei gleich große Dreiecke, von denen jedes genau die halbe Fläche hat. Das gilt für jedes Dreieck: Zwei gleiche Dreiecke lassen sich zu einem Parallelogramm mit der Fläche Grundseite mal Höhe zusammenlegen. Deshalb berechnest du die Dreiecksfläche mit Grundseite mal Höhe geteilt durch 2.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Ein Dreieck ist ein halbes Rechteck
Schneidest du ein Rechteck entlang der Diagonale durch, entstehen zwei gleiche Dreiecke – jedes hat die halbe Fläche. Das gilt für jedes Dreieck: Zwei gleiche Dreiecke lassen sich zu einem Parallelogramm zusammenlegen, und das hat die Fläche Grundseite mal Höhe.
Die Flächenformeln
- Rechteck: A = a · b
- Parallelogramm: A = g · h
- Dreieck: A = g · h : 2
So rechnest du beim Dreieck
- Wähl eine Seite als Grundseite g.
- Miss die Höhe h: senkrecht von g bis zur gegenüberliegenden Ecke.
- Rechne g · h und teile durch 2.
Einheit: cm · cm = cm²
g = 6 cm, h = 4 cm
- 6 · 4 = 24
- 24 : 2 = 12
- A = 12 cm²
Typische Falle
- Falsch: alle drei Seiten malnehmen. Das ergibt cm · cm · cm = cm³ – eine Fläche hat aber cm².
- Du brauchst nur zwei Maße: die Grundseite und die Höhe, die senkrecht auf ihr steht.
- Die Höhe ist meist keine Seite des Dreiecks. Nur im rechtwinkligen Dreieck kann eine Seite selbst die Höhe sein.
Tipp
Zeichne ein Rechteck auf Papier, schneide es entlang der Diagonale durch und leg die beiden Dreiecke aufeinander: Sie sind genau gleich groß.
Üben
7 Aufgaben
Berechne die Fläche des Dreiecks.
- g = 6 cm, h = 4 cm: A =
- g = 10 cm, h = 5 cm: A =
- g = 8 m, h = 3 m: A =
- g = 7 cm, h = 6 cm: A =
- g = 9 dm, h = 4 dm: A =
- g = 5 cm, h = 5 cm: A =
Rechteck, Parallelogramm oder Dreieck? Berechne die Fläche.
- Rechteck, 7 cm lang und 3 cm breit: A =
- Parallelogramm mit g = 8 cm und h = 5 cm: A =
- Dreieck mit g = 8 cm und h = 5 cm: A =
- Rechtwinkliges Dreieck, die Seiten am rechten Winkel sind 3 cm und 4 cm lang: A =
Rückwärts: Wie lang ist das fehlende Maß des Dreiecks?
- A = 10 cm², g = 5 cm: h =
- A = 24 cm², h = 6 cm: g =
- A = 15 cm², g = 10 cm: h =
- A = 21 cm², h = 6 cm: g =
- A = 9 cm², g = 4 cm: h =
Nicht jede Angabe brauchst du. Berechne die Fläche des Dreiecks.
- Seiten 5 cm, 5 cm und 6 cm, die Höhe auf der 6-cm-Seite ist 4 cm: A =
- Seiten 13 cm, 14 cm und 15 cm, die Höhe auf der 14-cm-Seite ist 12 cm: A =
- Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm, die Höhe auf der 5-cm-Seite ist 2,4 cm: A =
- Seiten 10 cm, 10 cm und 16 cm, die Höhe auf der 16-cm-Seite ist 6 cm: A =
Stimmt das? Kreuz an.
- Beim Dreieck nimmt man alle drei Seiten mal.
- Die Diagonale teilt ein Rechteck in zwei gleich große Dreiecke.
- Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
- Ein Dreieck mit g = 4 cm und h = 3 cm hat 12 cm² Fläche.
- Zwei gleiche Dreiecke kann man zu einem Parallelogramm zusammenlegen.
Rechne zuerst in eine Einheit um, dann berechne die Fläche.
- Dreieck, g = 4 dm, h = 30 cm: A = cm²
- Rechteck, 2 m lang und 50 cm breit: A = m²
- Parallelogramm, g = 12 cm, h = 5 mm: A = cm²
- Dreieck, g = 1 m, h = 40 cm: A = cm²
Löse die Sachaufgabe.
- Ein dreieckiges Segel hat die Grundseite 4 m und die Höhe 6 m. Wie viel Stoff ist das? m²
- Ein Garten ist 12 m lang und 8 m breit. Darin liegt ein dreieckiges Beet mit g = 6 m und h = 4 m. Wie viel Fläche bleibt für den Rasen? m²
- Eine Hauswand ist ein Rechteck, 8 m breit und 5 m hoch. Darauf sitzt ein dreieckiger Giebel, 8 m breit und 3 m hoch. Wie groß ist die ganze Wand? m²
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Dreiecksfläche: alle drei Seiten malnehmen? Drei mal vier mal fünf? Falsch!
Erklärung
Start beim Rechteck: Länge mal Breite. Sechs mal vier sind vierundzwanzig. Zentimeter mal Zentimeter gibt Quadratzentimeter. Eine Fläche hat zwei Maße. Jetzt schneidest du das Rechteck entlang der Diagonale durch. Die zwei Dreiecke liegen genau aufeinander. Jedes ist die Hälfte.
Vierundzwanzig durch zwei: zwölf Quadratzentimeter für jedes Dreieck. Und ein schiefes Dreieck ohne rechten Winkel? Das klappt genauso. Leg zwei gleiche Dreiecke zusammen: Es entsteht ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm hat die Fläche Grundseite mal Höhe. Wie ein Rechteck.
Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundseite, bis zur Spitze gegenüber. Das Dreieck ist das halbe Parallelogramm: Grundseite mal Höhe, geteilt durch zwei. Mit Zahlen: Grundseite sechs, Höhe vier. Sechs mal vier durch zwei: zwölf. Die dritte Seite brauchst du nicht. Nur Grundseite und Höhe.
Drei Seiten malnehmen gibt Kubikzentimeter. Das misst einen Würfel, keine Fläche. Die Höhe ist meist keine Seite. Nur am rechten Winkel schon.
Beispiele
Zweites Beispiel: rechtwinkliges Dreieck, Seiten drei, vier und fünf Zentimeter. Am rechten Winkel liegen drei und vier. Die stehen senkrecht aufeinander. Drei ist die Grundseite, vier die Höhe. Die Fünf brauchst du nicht. Drei mal vier sind zwölf. Durch zwei: sechs Quadratzentimeter.
Gegenprobe: Das Rechteck drei mal vier hat zwölf. Sechs ist die Hälfte. Und sechzig? Zehnmal zu groß, und die Einheit wäre Kubikzentimeter. Noch eins: Ein Segel hat Grundseite vier Meter und Höhe sechs. Vier mal sechs sind vierundzwanzig, halbiert zwölf. Zwölf Quadratmeter Stoff.
Dein Zug
Dein Zug: Grundseite zehn, Höhe fünf Zentimeter. Wie groß ist die Fläche? Fünfundzwanzig Quadratzentimeter.
Zum Schluss
Die drei Formeln nebeneinander: Nur beim Dreieck kommt das Halbieren dazu. Merk dir: Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm, darum halbierst du. Zum Üben: Zeichne ein Rechteck, schneide es diagonal und vergleich die Hälften. Nächste Frage: Warum haben zwei Figuren mit gleichem Umfang nicht dieselbe Fläche?
Danach
