Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Warum liegt die Höhe manchmal außerhalb des Dreiecks?
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Die Höhe liegt außerhalb, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat: Dann trifft das Lot von einer spitzen Ecke die Gegenseite nicht, sondern nur ihre Verlängerung. Eine Höhe ist immer das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Im stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei der drei Höhen außen. Die Fläche ist trotzdem g · h : 2.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Das Lot von der Ecke
Eine Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite – sie steht senkrecht auf ihr. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Beim stumpfwinkligen Dreieck trifft das Lot von einer spitzen Ecke die Gegenseite nicht: Du verlängerst die Seite, und die Höhe liegt außerhalb. Wo die Höhe auftrifft, liegt ihr Fußpunkt.
Die Höhe außen
Die Grundseite g ist gestrichelt verlängert. Die Höhe h steht senkrecht auf der Verlängerung.
Eine Höhe außen zeichnen
- Die Grundseite über die Ecke hinaus verlängern.
- Geodreieck senkrecht zur Verlängerung anlegen.
- Bis zur gegenüberliegenden Ecke schieben und die Höhe zeichnen.
- Fußpunkt und rechten Winkel markieren.
Höhe: senkrecht von der Ecke zur – vielleicht verlängerten – Gegenseite
Alle drei Höhen
Zwei Höhen liegen außen. Ihre Verlängerungen schneiden sich außerhalb in H.
Wo liegen die Höhen?
- alle drei innen
- zwei Höhen sind Seiten
- zwei Höhen außen
Typische Falle
- Falsch: „Die Höhe liegt immer innerhalb des Dreiecks.“ Beim stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei Höhen außen.
- Die Höhe ist nicht die Linie zur Mitte der Seite – das wäre die Seitenhalbierende.
- Auch mit einer Höhe außen gilt für die Fläche A = g · h : 2.
Tipp
Die Höhe misst, wie hoch das Dreieck über seiner Grundseite steht – wie ein Lot von der Spitze auf den Boden, auch wenn der Boden dafür verlängert werden muss.
Üben
4 Aufgaben
Wie viele Höhen liegen außerhalb des Dreiecks?
- Winkel 50°, 60°, 70°:
- Winkel 30°, 60°, 90°:
- Winkel 120°, 30°, 30°:
- Winkel 100°, 50°, 30°:
- So viele Höhen hat jedes Dreieck:
Berechne die Fläche oder die Höhe. Die Höhe liegt außen.
- g = 4 cm, h = 5 cm: A = cm²
- g = 6 cm, h = 3 cm: A = cm²
- g = 3 cm, h = 7 cm: A = cm²
- A = 12 cm², g = 4 cm: h = cm
Wo liegt der Höhenschnittpunkt? Schreib innen, außen oder Ecke.
- Spitzwinkliges Dreieck:
- Rechtwinkliges Dreieck:
- Stumpfwinkliges Dreieck:
- Gleichseitiges Dreieck:
Stimmt das? Kreuze an.
- Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
- Jedes Dreieck hat genau eine Höhe.
- Im rechtwinkligen Dreieck sind zwei Höhen zugleich Seiten.
- Die Höhe geht immer durch die Mitte der Grundseite.
- Um eine Höhe außen zu zeichnen, verlängert man die Grundseite.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Die Höhe liegt immer im Dreieck, ganz klar. Falsch!
Erklärung
Eine Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die Seite gegenüber. Sie steht senkrecht auf der Seite: Dort ist ein rechter Winkel. Wo die Höhe auftrifft, liegt ihr Fußpunkt. Jede Ecke hat ihre eigene Höhe. Also hat jedes Dreieck drei Höhen.
Bei diesem spitzwinkligen Dreieck liegen alle drei innen. Jetzt ein stumpfer Winkel: Bei B sind es mehr als neunzig Grad. Das Lot von C nach unten verfehlt die Seite. Es landet daneben. Der Trick: Verlänger die Grundseite einfach über B hinaus.
Jetzt trifft das Lot die Verlängerung, senkrecht. Das ist die Höhe h. Warum? Wird der Winkel bei B stumpf, wandert C über B hinaus. Die Höhe von A liegt auch außen, nur die von B innen. Verlängert man die Höhen, treffen sie sich außerhalb im Höhenschnittpunkt.
Und rechtwinklig? Da sind zwei Höhen einfach die Seiten am rechten Winkel.
Beispiele
Zweites Beispiel: Wie groß ist die Fläche dieses stumpfen Dreiecks? Grundseite verlängern, Geodreieck anlegen und bis zur Ecke C schieben. Die Höhe steht außen und ist drei Zentimeter lang. Die Formel gilt trotzdem: Grundseite mal Höhe durch zwei.
Vier mal drei ist zwölf, durch zwei sind das sechs Quadratzentimeter. Warum klappt das? Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm. Das Parallelogramm hat vier mal drei, also zwölf. Das Dreieck die Hälfte. Rückwärts geht es auch: Fläche fünfzehn, Grundseite fünf. Wie hoch ist es?
Mal zwei sind dreißig, durch fünf: Die Höhe ist sechs Zentimeter.
Dein Zug
Dein Zug: Winkel hundertdreißig, dreißig und zwanzig Grad. Wie viele Höhen liegen außen? Lösung: zwei.
Zum Schluss
Spitzwinklig: alle innen. Rechtwinklig: zwei Höhen sind Seiten. Stumpfwinklig: zwei außen. Merk dir: Ist ein Winkel stumpf, trifft das Lot die verlängerte Seite. Zum Üben: Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck und trag alle drei Höhen ein. Nächste Frage: Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes?
Danach
