Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes?
Neu: Dieses Video läuft schon hier, bevor es auf YouTube erscheint.
Die Fläche eines Trapezes ist A = (a + c) · h : 2: die parallelen Seiten addieren, mit der Höhe malnehmen und halbieren. Zwei gleiche Trapeze ergeben zusammen ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c, eines ist die Hälfte davon. Bei a = 8 cm, c = 4 cm und h = 5 cm sind es 30 cm², nicht 8 · 5 = 40 cm². Beim Drachenviereck gilt A = e · f : 2.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Die Hälfte eines Parallelogramms
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten a und c, ihr Abstand ist die Höhe h. Legt man zwei gleiche Trapeze umgedreht aneinander, entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der Höhe h. Ein Trapez ist die Hälfte davon: A = (a + c) · h : 2. Beim Drachenviereck mit den Diagonalen e und f gilt A = e · f : 2.
Trapez zerlegt
20 cm² + 2 · 5 cm² = 30 cm²
Drachenviereck
e = 6 cm, f = 4 cm: A = 6 · 4 : 2 = 12 cm²
a = 8 cm, c = 4 cm, h = 5 cm
- (8 + 4) · 5 : 2 = 30 cm²
- Rechteck 4 · 5 = 20 cm²
- Dreiecke 4 · 5 : 2 = 10 cm²
So rechnest du
- Die parallelen Seiten a und c addieren.
- Mit der Höhe h malnehmen.
- Durch 2 teilen.
A = (a + c) · h : 2
Mit der Mittellinie
- Mittellinie
- wie ein Rechteck
Typische Falle
- Falsch: „Beim Trapez rechnet man Grundseite mal Höhe wie beim Rechteck.“ 8 · 5 = 40 cm² ist zu viel – die Schrägen schneiden Stücke ab.
- Die Höhe ist der Abstand der parallelen Seiten, nicht die schräge Seite.
- (a + c) · h allein ist das doppelte Trapez – durch 2 teilen.
Tipp
Prüf mit Zerlegen: Schneide das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke. Beide Wege müssen dieselbe Fläche ergeben.
Üben
6 Aufgaben
Berechne die Fläche des Trapezes.
- a = 8 cm, c = 4 cm, h = 5 cm: A = cm²
- a = 10 cm, c = 6 cm, h = 4 cm: A = cm²
- a = 7 cm, c = 3 cm, h = 6 cm: A = cm²
- a = 12 cm, c = 8 cm, h = 2,5 cm: A = cm²
- a = 9 cm, c = 5 cm, h = 3 cm: A = cm²
Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke.
- a = 8 cm, c = 4 cm, h = 5 cm: Rechteck cm², Dreiecke cm²
- a = 10 cm, c = 6 cm, h = 4 cm: Rechteck cm², Dreiecke cm²
- a = 9 cm, c = 5 cm, h = 3 cm: Rechteck cm², Dreiecke cm²
Berechne die Fläche des Drachenvierecks.
- e = 6 cm, f = 4 cm: A = cm²
- e = 10 cm, f = 7 cm: A = cm²
- Raute mit e = 8 cm, f = 5 cm: A = cm²
- e = 9 cm, f = 3 cm: A = cm²
Rechne rückwärts: Welche Länge fehlt?
- Trapez: A = 30 cm², a = 8 cm, c = 4 cm: h = cm
- Trapez: A = 24 cm², h = 4 cm, a = 7 cm: c = cm
- Drachen: A = 18 cm², e = 6 cm: f = cm
- Trapez: A = 40 cm², h = 5 cm: a + c = cm
Zerlege in bekannte Figuren und berechne die Fläche.
- L-förmiges Beet: Rechteck 10 m × 4 m und Rechteck 3 m × 5 m: A = m²
- Giebelwand: Rechteck 6 m × 3 m und Dreieck mit g = 6 m, h = 2 m: A = m²
- Rechteck 8 cm × 5 cm, ein Dreieck mit g = 4 cm und h = 3 cm ausgeschnitten: A = cm²
- Zwei gleiche Trapeze mit a = 5 cm, c = 3 cm, h = 2 cm: zusammen cm²
Stimmt das? Kreuze an.
- Im Trapez sind die Seiten a und c parallel.
- Die Höhe im Trapez ist die schräge Seite.
- Zwei gleiche Trapeze ergeben zusammen ein Parallelogramm.
- Für das Trapez gilt A = a · h.
- Für das Drachenviereck gilt A = e · f : 2.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Trapez? Einfach Grundseite mal Höhe, acht mal fünf. Falsch!
Erklärung
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten: unten a, oben c. Ihr Abstand ist die Höhe h: senkrecht, nicht schräg. Hier ist a acht, c vier und h fünf Zentimeter. Acht mal fünf wäre das Rechteck drumherum. Das ist zu viel.
Die schrägen Seiten schneiden zwei Dreiecke ab. Der Trick: Nimm zwei gleiche Trapeze. Das zweite steht auf dem Kopf. Zusammen ein Parallelogramm. Seine Grundseite ist a plus c, also zwölf. Seine Fläche: a plus c, mal h. Zwölf mal fünf gleich sechzig.
Ein Trapez ist genau die Hälfte: sechzig durch zwei, dreißig. Das ist die Trapezformel: a plus c, mal h, durch zwei. Probe durch Zerlegen: In der Mitte ein Rechteck, vier mal fünf, zwanzig. Dazu zwei Dreiecke mit je fünf. Zusammen dreißig, wie mit der Formel!
Noch kürzer: Die Mittellinie ist sechs lang. Sechs mal fünf, wieder dreißig.
Beispiele
Zweites Beispiel: ein Beet. Unten zehn Meter, oben sechs, Abstand vier. Zehn plus sechs ist sechzehn, mal vier ergibt vierundsechzig. Durch zwei: Das Beet hat zweiunddreißig Quadratmeter. Probe: Rechteck sechs mal vier ist vierundzwanzig, das Dreieck acht. Passt!
Ein Drachenviereck geht ähnlich. Seine Diagonalen sind sechs und vier Zentimeter. Der Drachen füllt genau die Hälfte des Rechtecks aus e und f. Also sechs mal vier durch zwei: zwölf Quadratzentimeter. Rückwärts: Ein Trapez hat dreißig Quadratzentimeter, a plus c ist zwölf.
Zwölf halbiert ist sechs. Sechs mal h gleich dreißig, h ist fünf.
Dein Zug
Dein Zug: a ist neun, c drei, h vier Zentimeter. Wie groß ist die Fläche? Lösung: vierundzwanzig Quadratzentimeter.
Zum Schluss
Im Vergleich: Beim Trapez zählen beide parallelen Seiten, dann halbieren. Merk dir: Trapezfläche ist a plus c, mal Höhe, durch zwei. Zum Üben: Trapez mit a acht, c vier, h fünf Zentimeter. Rechne mit Formel und durch Zerlegen. Nächste Frage: Wo liegt der Schwerpunkt eines Dreiecks?
Danach
