Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Warum sind im gleichschenkligen Dreieck zwei Winkel gleich?
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Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich, weil das Dreieck spiegelsymmetrisch zur Achse durch die Spitze ist: Beim Falten fällt ein Basiswinkel genau auf den anderen. Gleichschenklig heißt nur, dass zwei Seiten gleich lang sind. Bei 40° an der Spitze hat jeder Basiswinkel (180° − 40°) : 2 = 70°.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Zwei gleiche Seiten, zwei gleiche Winkel
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, die Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis, die Ecke gegenüber der Basis Spitze. Die beiden Winkel an der Basis, die Basiswinkel, sind gleich groß – das ist der Basiswinkelsatz. Der Grund: Das Dreieck ist spiegelsymmetrisch zur Achse durch die Spitze, beim Spiegeln fällt ein Basiswinkel genau auf den anderen. Sind alle drei Seiten gleich lang, heißt das Dreieck gleichseitig, und alle Winkel haben 60°.
Die Teile
Gestrichelt: die Symmetrieachse. Die Basiswinkel an der Basis sind gleich groß.
Spitze 40°
- 180° − 40° = 140°
- 140° : 2 = 70°
Gleichschenklig oder gleichseitig?
- zwei Seiten gleich, zwei Winkel gleich
- drei Seiten gleich, alle Winkel 60°
Typische Falle
- Falsch: „Gleichschenklig heißt, alle drei Seiten sind gleich.“ Das heißt gleichseitig – gleichschenklig braucht nur zwei gleiche Seiten.
- Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig, aber nicht umgekehrt.
- Die Basiswinkel liegen an der Basis, nicht an der Spitze.
Tipp
Schneide ein gleichschenkliges Dreieck aus Papier aus und falte es entlang der Linie durch die Spitze und die Mitte der Basis: Die beiden Basiswinkel liegen genau aufeinander.
Üben
7 Aufgaben
Gleichschenkliges Dreieck: Berechne die Basiswinkel.
- Spitze 40°: je °
- Spitze 90°: je °
- Spitze 100°: je °
- Spitze 20°: je °
- Spitze 60°: je °
Gleichschenkliges Dreieck: Berechne den Winkel an der Spitze.
- Basiswinkel 50°: Spitze °
- Basiswinkel 35°: Spitze °
- Basiswinkel 45°: Spitze °
- Basiswinkel 72°: Spitze °
Stell eine Gleichung auf und berechne den Winkel.
- Die Spitze ist doppelt so groß wie ein Basiswinkel. Basiswinkel: °
- Die Spitze ist 30° größer als ein Basiswinkel. Basiswinkel: °
- Jeder Basiswinkel ist doppelt so groß wie die Spitze. Spitze: °
- Jeder Basiswinkel ist 30° größer als die Spitze. Spitze: °
Wie heißt das Teil des gleichschenkligen Dreiecks?
- Die zwei gleich langen Seiten heißen .
- Die dritte Seite heißt .
- Die zwei gleich großen Winkel heißen .
- Die Ecke gegenüber der Basis heißt .
Beschrifte das gleichschenklige Dreieck: Schenkel, Basis, Basiswinkel, Spitze.
- Ziffer 1:
- Ziffer 2:
- Ziffer 3:
- Ziffer 4:
Wie viele Seiten sind gleich lang?
- Winkel 50°, 50°, 80°:
- Winkel 60°, 60°, 60°:
- Winkel 30°, 60°, 90°:
- Winkel 45°, 45°, 90°:
Stimmt das? Kreuze an.
- Ein gleichseitiges Dreieck ist auch gleichschenklig.
- Ein gleichschenkliges Dreieck ist immer gleichseitig.
- Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
- Hat ein Dreieck zwei gleich große Winkel, ist es gleichschenklig.
- Die Basiswinkel liegen an der Spitze.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Gleichschenklig? Klar, da sind alle drei Seiten gleich lang. Falsch!
Erklärung
Gleichschenklig heißt: Zwei Seiten sind gleich lang. Sie heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Gegenüber liegt die Spitze. Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel. Sie sind gleich groß. Aber warum? Falten wir das Dreieck genau in der Mitte.
Die linke Hälfte klappt um und liegt genau auf der rechten. Der linke Basiswinkel landet genau auf dem rechten. Also sind beide gleich. Das ist der Basiswinkelsatz: gleiche Schenkel, gleiche Basiswinkel. Jetzt rechnen: Die Spitze hat vierzig Grad. Wie groß sind die Basiswinkel?
Alle drei Winkel ergeben hundertachtzig Grad. Ohne die vierzig bleiben hundertvierzig. Die teilen sich zwei gleiche Basiswinkel: hundertvierzig durch zwei ist siebzig. Probe: siebzig plus siebzig plus vierzig ergibt wieder hundertachtzig. Alle drei Seiten gleich heißt gleichseitig. Dort hat jeder Winkel sechzig Grad.
Ein gleichseitiges Dreieck ist also auch gleichschenklig. Umgekehrt gilt das nicht.
Beispiele
Zweites Beispiel: ein gleichschenkliger Dachgiebel. Jeder Basiswinkel hat fünfunddreißig Grad. Beide Basiswinkel zusammen: zweimal fünfunddreißig, also siebzig Grad. Für die Spitze bleibt hundertachtzig minus siebzig: hundertzehn Grad. Im Bild: Die Spitze ist stumpf, der Giebel ist flach.
Jetzt knifflig: Die Spitze ist doppelt so groß wie ein Basiswinkel. Alle drei zusammen: x plus x plus zwei x gleich hundertachtzig. Vier x gleich hundertachtzig, also x gleich fünfundvierzig. Die Spitze: neunzig Grad. Probe: fünfundvierzig plus fünfundvierzig plus neunzig sind hundertachtzig.
Das klappt auch rückwärts: Zwei gleiche Winkel bedeuten zwei gleich lange Seiten.
Dein Zug
Dein Zug: Die Spitze hat achtzig Grad. Wie groß ist jeder Basiswinkel? Lösung: fünfzig Grad.
Zum Schluss
Gleichschenklig: zwei gleiche Seiten, zwei gleiche Winkel. Gleichseitig: alles dreifach. Merk dir: Gleichschenklige Dreiecke sind spiegelsymmetrisch. Darum sind beide Basiswinkel gleich. Zum Üben: Oben sind es vierzig Grad. Wie groß sind die beiden Basiswinkel? Rechne nach. Nächste Frage: Warum liegt die Höhe manchmal außerhalb des Dreiecks?
Danach
