Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Was ist eine Mittelsenkrechte?
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Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Gerade, die durch die Mitte von AB geht und senkrecht darauf steht. Jeder Punkt auf ihr ist von A und B gleich weit entfernt, darum heißt sie auch Ortslinie. Man konstruiert sie mit zwei gleich großen Zirkelbögen um A und B, die weiter als die halbe Strecke reichen, und verbindet deren Schnittpunkte.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Gleich weit von A und B
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Gerade, die senkrecht auf AB steht und durch ihre Mitte geht. Jeder Punkt auf ihr ist von A und von B gleich weit entfernt – und nur diese Punkte. Darum heißt sie auch Ortslinie: die Linie aller Punkte mit gleichem Abstand zu A und B.
Konstruiert und geprüft
Die Bögen um A und B schneiden sich auf m. P liegt auf m: PA = PB.
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
- Zirkel weiter als die halbe Strecke öffnen.
- Um A einen Bogen über und unter AB schlagen.
- Mit derselben Öffnung einen Bogen um B schlagen.
- Die zwei Schnittpunkte der Bögen verbinden.
Auf der Mittelsenkrechten: gleicher Abstand zu A und B
Was man daran ablesen kann
- P ist von A und B gleich weit weg
- M halbiert die Strecke AB
- senkrecht auf AB
Typische Falle
- Falsch: „Die Mittelsenkrechte ist einfach die Mitte der Figur.“ Sie gehört zu einer Strecke und ist eine ganze Gerade.
- Geht eine Gerade schräg durch die Mitte, ist sie keine Mittelsenkrechte – der rechte Winkel fehlt.
- Ist der Zirkel weniger als die halbe Strecke geöffnet, treffen sich die Bögen nicht.
Tipp
Prüf deine Konstruktion: Nimm einen Punkt auf der Mittelsenkrechten und miss seinen Abstand zu A und zu B – beide Abstände müssen gleich sein.
Üben
4 Aufgaben
Ergänze die Länge.
- AB = 6 cm: Die Mitte liegt cm von A entfernt.
- AB = 6 cm: Der Zirkel muss weiter als cm offen sein.
- AB = 9 cm: Die Mitte liegt cm von B entfernt.
- AB = 10 cm: Der Zirkel muss weiter als cm offen sein.
Nutze die Mittelsenkrechte von AB.
- P liegt auf der Mittelsenkrechten, PA = 5 cm. PB = cm
- QA = 4 cm, QB = 6 cm. Liegt Q auf der Mittelsenkrechten?
- RA = RB = 7 cm. Liegt R auf der Mittelsenkrechten?
- AB = 8 cm. Die Mitte M hat von A den Abstand cm.
Löse die Aufgabe mit der Mittelsenkrechten.
- Zwei Dörfer liegen 6 km auseinander. Ein Spielplatz an der Straße dazwischen soll von beiden gleich weit weg sein: km von jedem Dorf
- Ein Brunnen ist 50 m von Haus A und 50 m von Haus B entfernt. Liegt er auf der Mittelsenkrechten von AB?
- Lea steht 12 m von Tor A und 15 m von Tor B entfernt. Liegt sie auf der Mittelsenkrechten?
- Ein Punkt ist 5 m von A und 3 m von B entfernt. Er ist näher an Punkt .
Stimmt das? Kreuze an.
- Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Strecke.
- Die Mittelsenkrechte geht durch die Mitte der Strecke.
- Jeder Punkt der Mittelsenkrechten ist von A und B gleich weit entfernt.
- Jede Gerade durch die Mitte der Strecke ist eine Mittelsenkrechte.
- Für die Konstruktion darf der Zirkel weniger als die halbe Strecke offen sein.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Mittelsenkrechte? Ist doch einfach die Mitte der Figur. Falsch!
Erklärung
Die Mittelsenkrechte ist kein Punkt, sondern eine ganze Gerade. Sie geht durch die Mitte einer Strecke und steht senkrecht darauf. Mitte und senkrecht zusammen, daher der Name: Mittelsenkrechte. Eine schräge Gerade durch die Mitte zählt nicht: Der rechte Winkel fehlt.
Besonders: Jeder Punkt auf m ist gleich weit von A und B. Wandert P auf m nach oben, wachsen beide Abstände gleich mit. Ein Punkt neben m liegt dagegen näher an B als an A. Darum heißt m auch Ortslinie: alle Punkte mit gleichem Abstand.
Konstruieren: Den Zirkel weiter öffnen als die halbe Strecke. Um A einen Bogen schlagen, oberhalb und unterhalb der Strecke. Mit derselben Öffnung um B. Die Bögen schneiden sich zweimal. Jetzt die zwei Schnittpunkte verbinden: Das ist die Mittelsenkrechte.
Warum? Beide Schnittpunkte sind vier Zentimeter von A und von B entfernt.
Beispiele
Neues Beispiel: zwei Häuser, A und B, und eine Straße. Ein Spielplatz an der Straße soll von beiden gleich weit weg sein. Gleich weit von A und B? Das ist die Mittelsenkrechte! Also: Bögen um A und B, die Schnittpunkte verbinden.
Wo m die Straße kreuzt, genau dort liegt der Spielplatz P. Probe: Bis zu jedem Haus sind es fünfhundert Meter. Fair! Die Mitte zwischen den Häusern liegt dagegen gar nicht an der Straße. Noch ein Tipp: Bei neun Zentimetern den Zirkel weiter als viereinhalb öffnen.
Dein Zug
Dein Zug: Q ist drei Zentimeter von A und vier von B weg. Liegt Q auf m? Lösung: Nein.
Zum Schluss
Alles auf einen Blick: Mitte, rechter Winkel und gleiche Abstände. Merk dir: Die Mittelsenkrechte geht senkrecht durch die Mitte einer Strecke. Zum Üben: Konstruier die Mittelsenkrechte einer sechs Zentimeter langen Strecke. Nächste Frage: Wozu braucht man die Winkelhalbierende?
Danach
