Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Wozu braucht man die Winkelhalbierende?
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Mit der Winkelhalbierenden teilt man einen Winkel exakt in zwei gleich große Hälften, ganz ohne Messen. Jeder Punkt auf ihr ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt. Darum treffen sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks im Mittelpunkt des Inkreises, des größten Kreises, der ins Dreieck passt.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Gleich weit von beiden Schenkeln
Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile. Jeder Punkt auf ihr ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt, senkrecht gemessen. Im Dreieck schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt: dem Mittelpunkt des Inkreises. Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen.
Einen Winkel halbieren
80° halbiert: zwei Hälften zu je 40°. Erst der Bogen um S, dann gleiche Bögen um die Schnittpunkte.
Der Inkreis
Die Winkelhalbierenden schneiden sich in W. Der Inkreis um W berührt alle drei Seiten.
Konstruktion mit dem Zirkel
- Um den Scheitel S einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet.
- Um beide Schnittpunkte gleich große Bögen schlagen, bis sie sich treffen.
- S mit diesem Treffpunkt verbinden.
Auf der Winkelhalbierenden: gleicher Abstand zu beiden Schenkeln
Was man daran ablesen kann
- zwei Hälften zu je 40°
- gleich weit von beiden Schenkeln
- Mittelpunkt des Inkreises
Typische Falle
- Falsch: „Mit dem Geodreieck halbieren genügt.“ Messen ist ungenau – bei 73° müsstest du 36,5° ablesen. Die Konstruktion ist exakt.
- Den Abstand zu einem Schenkel misst du senkrecht, nicht schräg.
- Der Inkreis berührt die Seiten, er geht nicht durch die Ecken – das macht der Umkreis.
Tipp
Prüf deine Konstruktion mit dem Geodreieck: Beide Hälften müssen gleich groß sein. So verbindest du Genauigkeit und Kontrolle.
Üben
4 Aufgaben
Wie groß ist jede Hälfte?
- 80°: je °
- 73°: je °
- 150°: je °
- Nach dem Halbieren je 35°, vorher: °
Nutze den gleichen Abstand zu den Schenkeln oder Seiten.
- P liegt auf der Winkelhalbierenden, 3 cm vom einen Schenkel. Abstand zum anderen: cm
- Q ist 2 cm vom einen und 5 cm vom anderen Schenkel entfernt. Auf der Winkelhalbierenden?
- R liegt im Winkel, 4 cm von beiden Schenkeln entfernt. Auf der Winkelhalbierenden?
- Der Inkreis hat den Radius 2 cm. Abstand seines Mittelpunkts zu jeder Seite: cm
Rechne mit der Winkelhalbierenden.
- Zwei Wege treffen sich unter 60°. Eine Bank auf der Winkelhalbierenden bildet mit jedem Weg °.
- Eine Lampe zeigt in eine Zimmerecke mit 90° genau zwischen die Wände: ° zu jeder Wand
- Ein Kuchenstück mit 50° wird halbiert: zwei Stücke zu je °
- Mindestens so viele Winkelhalbierende braucht man für den Inkreismittelpunkt:
Stimmt das? Kreuze an.
- Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile.
- Jeder Punkt der Winkelhalbierenden ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt.
- Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich im Umkreismittelpunkt.
- Der Inkreis berührt jede Seite des Dreiecks.
- Der Inkreis geht durch die drei Ecken.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Winkel halbieren? Geodreieck drauf, das genügt doch. Falsch!
Erklärung
Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Hälften. Mit dem Geodreieck: messen, halbieren, wieder messen. Bei dreiundsiebzig Grad brauchst du sechsunddreißigeinhalb. Da verrutscht man schnell. Mit dem Zirkel geht es exakt: erst ein Bogen um S.
Um beide Schnittpunkte gleich große Bögen, bis sie sich treffen. Jetzt S mit dem Treffpunkt verbinden. Fertig ist die Winkelhalbierende w. Das Geodreieck darf trotzdem mitspielen: zum Nachprüfen. Zweimal vierzig Grad. Aber wozu das alles? Die Winkelhalbierende kann noch mehr.
Jeder Punkt auf w ist gleich weit von beiden Schenkeln entfernt. Den Abstand misst du senkrecht, also auf dem kürzesten Weg. Im Dreieck gibt es drei davon. Sie treffen sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt.
Ein Kreis um ihn berührt jede Seite genau einmal: der Inkreis.
Beispiele
Anwendung: Ein Garten ist ein rechtwinkliges Dreieck, sechs mal acht Meter. Das größte runde Trampolin soll hinein. Wo steht seine Mitte? Der größte Kreis im Dreieck ist der Inkreis. Erst den rechten Winkel bei A halbieren: zweimal fünfundvierzig Grad.
Dann den Winkel bei B. Die zwei Halbierenden schneiden sich in W. Die dritte Halbierende braucht man nicht. Sie läuft von selbst durch W. Der Abstand von W zu jeder Seite ist der Radius: zwei Meter. Also passt ein Trampolin mit vier Metern Durchmesser. Es berührt jede Seite.
Dein Zug
Dein Zug: Ein Winkel hat hundertzwanzig Grad. Wie groß ist jede Hälfte? Lösung: sechzig Grad.
Zum Schluss
Wozu also? Exakt halbieren, gleiche Abstände finden und den Inkreis bauen. Merk dir: Mit der Winkelhalbierenden findest du den Mittelpunkt des Inkreises. Zum Üben: Halbier einen Winkel mit dem Zirkel. Prüf mit dem Geodreieck nach. Nächste Frage: Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises?
Danach
