Zum Inhalt springen
Schulpuls App öffnenAppKl. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen

Was sagt der Satz des Thales?

Mathe Klasse 7 Winkel, Dreiecke und Konstruktionen

Neu: Dieses Video läuft schon hier, bevor es auf YouTube erscheint.

Spotify-Show Übungsblatt (PDF) In der App üben
Kurz gesagt

Der Satz des Thales sagt: Liegt C auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel. Der Halbkreis heißt Thaleskreis, AB ist sein Durchmesser. Nicht jedes Dreieck im Kreis ist rechtwinklig, nur wenn eine Seite ein Durchmesser ist. Liegt C innerhalb, ist der Winkel stumpf, außerhalb spitz.

Das Wichtigste zum Nachlesen

1 Min. Lesen

Rechter Winkel auf dem Halbkreis

Zeichne einen Halbkreis über der Strecke AB. Setz einen Punkt C irgendwo auf den Bogen und verbinde ihn mit A und B: Der Winkel bei C ist immer ein rechter Winkel, 90°. Das ist der Satz des Thales. Der Halbkreis heißt Thaleskreis, AB ist sein Durchmesser, die Mitte M von AB sein Mittelpunkt.

Der Thaleskreis

Wo C auch auf dem Bogen liegt: Bei C ist ein rechter Winkel.

Warum es klappt

MA = MB = MC: zwei gleichschenklige Dreiecke. 2α + 2β = 180°, also α + β = 90°.

Wo liegt C?

  • Winkel bei C: 90°
  • Winkel bei C: stumpf
  • Winkel bei C: spitz

Rechtwinkliges Dreieck mit Thales

  1. Strecke AB zeichnen und ihre Mitte M bestimmen.
  2. Halbkreis um M mit dem Radius MA.
  3. C auf den Bogen setzen und mit A und B verbinden.

C auf dem Halbkreis: Winkel bei C = 90°

Typische Falle

  • Falsch: „Jedes Dreieck in einem Kreis hat einen rechten Winkel.“ Das gilt nur, wenn eine Seite ein Durchmesser ist.
  • Liegt C innerhalb des Halbkreises, wird der Winkel stumpf, außerhalb spitz.
  • Der rechte Winkel liegt immer bei C, gegenüber vom Durchmesser – nicht bei A oder B.

Tipp

Warum es klappt: MA, MB und MC sind Radien, also gleich lang. So entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke, deren Basiswinkel zusammen genau die Hälfte von 180° ergeben.

Üben

5 Aufgaben

  1. Ist der Winkel bei C recht, spitz oder stumpf?

    1. C liegt auf dem Halbkreis über AB:
    2. C liegt innerhalb des Halbkreises über AB:
    3. C liegt außerhalb des Halbkreises über AB:
    4. C liegt auf dem Bogen, ganz nah bei A:

  2. C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Berechne den fehlenden Winkel.

    1. Winkel bei A = 35°: Winkel bei B = °
    2. Winkel bei B = 62°: Winkel bei A = °
    3. Winkel bei A = 45°: Winkel bei B = °
    4. Winkel bei A ist doppelt so groß wie bei B: Winkel bei B = °

  3. Rechne mit Durchmesser und Radius des Thaleskreises.

    1. AB = 8 cm: Radius des Thaleskreises cm
    2. AB = 11 cm: Radius des Thaleskreises cm
    3. Radius 3 cm: AB = cm
    4. AB = 10 cm: Abstand von M zu C cm

  4. Nutze die Umkehrung des Satzes.

    1. Rechter Winkel bei C, AB = 12 cm: C liegt auf einem Kreis mit dem Radius cm
    2. Rechter Winkel bei C, längste Seite 9 cm: Umkreisradius cm
    3. Ist ein Dreieck mit 30°, 60° und 90° ein Thales-Dreieck?
    4. Ist ein Dreieck mit 50°, 60° und 70° ein Thales-Dreieck?

  5. Stimmt das? Kreuze an.

    1. Liegt C auf dem Halbkreis über AB, ist der Winkel bei C 90°.
    2. Jedes Dreieck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen, hat einen rechten Winkel.
    3. Der Mittelpunkt des Thaleskreises ist die Mitte von AB.
    4. Im Thales-Dreieck über AB liegt der rechte Winkel bei A.
    5. In jedem rechtwinkligen Dreieck liegt die Ecke mit dem rechten Winkel auf dem Kreis über der längsten Seite.

Auf dem Blatt gibt es noch 2 Aufgaben zum Ankreuzen, Zählen oder Schreiben. Lösungen im Übungsblatt zum Ausdrucken.

Übungsblatt (PDF)In der App üben

Was im Video gesagt wird

Abschrift

Einstieg

Dreieck im Kreis? Hat sicher einen rechten Winkel. Falsch!

Erklärung

Der Satz des Thales braucht einen Halbkreis über einer Strecke AB. Setz C irgendwo auf den Bogen und verbinde mit A und B. Dann ist der Winkel bei C immer ein rechter: neunzig Grad. Wandert C auf dem Bogen weiter, bleibt der rechte Winkel stehen.

Den Halbkreis nennt man Thaleskreis. Die Strecke AB ist sein Durchmesser. Warum? M ist die Mitte, und MA, MB, MC sind alle Radien. So entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke mit je zwei gleichen Winkeln. Alle Winkel zusammen: zweimal Alpha plus zweimal Beta gleich hundertachtzig.

Alpha plus Beta ist also neunzig, genau der Winkel bei C. Umgekehrt: Ist bei C ein rechter Winkel, liegt C auf dem Thaleskreis. Und das Dreieck im Kreis vom Anfang? Keine Seite ist ein Durchmesser. Liegt C innerhalb des Halbkreises, wird der Winkel stumpf.

Außerhalb wird er spitz. Nur auf dem Bogen sind es neunzig Grad.

Beispiele

Beispiel: AB ist zehn Zentimeter, C liegt auf dem Thaleskreis. Der Radius ist die Hälfte von AB, also fünf Zentimeter. Bei A sind es fünfundzwanzig Grad. Wie viel Grad hat B? Bei C sind neunzig Grad. Für A und B bleiben zusammen neunzig.

Also ist der Winkel bei B genau fünfundsechzig Grad. Probe: fünfundzwanzig plus neunzig plus fünfundsechzig ergibt hundertachtzig Grad. So baust du ein rechtwinkliges Dreieck: Mitte M, Halbkreis, C draufsetzen. Miss nach: Das Geodreieck zeigt jedes Mal genau neunzig Grad.

Dein Zug

Dein Zug: C liegt auf dem Thaleskreis, bei A sind achtundvierzig Grad. Winkel bei B? Lösung: zweiundvierzig Grad.

Zum Schluss

Auf dem Bogen neunzig Grad, innerhalb stumpf, außerhalb spitz. Merk dir: Auf dem Thaleskreis hat jedes Dreieck bei C neunzig Grad. Zum Üben: Zeichne einen Halbkreis und setz drei Punkte auf den Bogen. Miss die Winkel. Nächste Frage: Warum sind im gleichschenkligen Dreieck zwei Winkel gleich?

Danach

Mathe · Klasse 7 Warum sind im gleichschenkligen Dreieck zwei Winkel gleich?

Mehr aus „Winkel, Dreiecke und Konstruktionen“

Mathe · Klasse 7 Was sind Scheitelwinkel und Nebenwinkel?
Mathe · Klasse 7 Warum sind Stufenwinkel gleich groß?
Mathe · Klasse 7 Wie groß ist die Winkelsumme in einem Viereck?
Mathe · Klasse 7 Kann man aus drei Längen immer ein Dreieck bauen?