Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Wo liegt der Schwerpunkt eines Dreiecks?
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Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden: Jede verbindet eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, der längere Teil liegt an der Ecke. Er ist nicht der Umkreismittelpunkt – der kommt von den Mittelsenkrechten und kann sogar außen liegen.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 – der längere Teil liegt an der Ecke. Unter S balanciert ein Dreieck aus Pappe auf einer Bleistiftspitze.
Drei Seitenhalbierende, ein Punkt
Die Striche zeigen die Seitenmitten. Dunkel: die Seitenhalbierende von A.
So findest du den Schwerpunkt
- Mitte einer Seite bestimmen.
- Die Mitte mit der gegenüberliegenden Ecke verbinden.
- Dasselbe für eine zweite Seite.
- Den Schnittpunkt S markieren.
Ecke bis S : S bis Seitenmitte = 2 : 1
Das Verhältnis 2 : 1
Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, von S bis zur Seitenmitte ein Drittel.
Seitenhalbierende 9 cm lang
- Ecke bis S: 9 · 2/3 = 6 cm
- S bis Mitte: 9 · 1/3 = 3 cm
Typische Falle
- Falsch: „Der Schwerpunkt ist dasselbe wie der Mittelpunkt des Umkreises.“ Der Umkreismittelpunkt kommt von den Mittelsenkrechten und kann außen liegen, der Schwerpunkt liegt immer innen.
- Eine Seitenhalbierende geht immer durch eine Ecke, eine Mittelsenkrechte meist nicht.
- S liegt nicht in der Mitte der Seitenhalbierenden, sondern bei zwei Dritteln von der Ecke aus.
Vier Linien, vier Punkte
- Schwerpunkt
- Umkreismittelpunkt
- Inkreismittelpunkt
- Höhenschnittpunkt
Tipp
Schneide ein Dreieck aus Pappe aus, konstruier den Schwerpunkt und setz es mit S auf eine Bleistiftspitze: Es bleibt liegen.
Üben
4 Aufgaben
Rechne mit dem Verhältnis 2 : 1.
- Seitenhalbierende 9 cm: Ecke bis S cm
- Seitenhalbierende 9 cm: S bis Seitenmitte cm
- Seitenhalbierende 12 cm: Ecke bis S cm
- S bis Seitenmitte 2 cm: ganze Seitenhalbierende cm
- Ecke bis S 5 cm: S bis Seitenmitte cm
Welche besonderen Linien sind gemeint?
- Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der .
- Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der .
- Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der .
- Eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite verbindet die .
Schreib ja oder nein.
- Liegt der Schwerpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks im Dreieck?
- Liegt der Umkreismittelpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks im Dreieck?
- Fallen im gleichseitigen Dreieck Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt zusammen?
- Geht jede Seitenhalbierende durch eine Ecke?
Stimmt das? Kreuze an.
- Eine Seitenhalbierende geht von einer Ecke zur Mitte der Gegenseite.
- Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende in zwei gleiche Teile.
- Der Schwerpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.
- Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
- Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Schwerpunkt gleich Umkreismitte? Die liegt hier draußen. Falsch!
Erklärung
Ein Pappdreieck balanciert auf der Bleistiftspitze, aber nur an einem Punkt. Erst die Mitte einer Seite. Die Striche zeigen: zwei gleiche Hälften. Verbinde die Mitte mit der Ecke gegenüber. Das ist eine Seitenhalbierende. Dasselbe mit der zweiten Seite. Der Kreuzungspunkt ist der Schwerpunkt S.
Die dritte Seitenhalbierende geht auch genau durch S. Immer! Genau dort balanciert das Dreieck. Darum heißt der Punkt Schwerpunkt. Warum? Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei gleich große Flächen. Auf jeder Linie herrscht Gleichgewicht, also auch im Treffpunkt aller drei.
S teilt sie zwei zu eins, der lange Teil an der Ecke. Und der Umkreismittelpunkt? Er kommt von den Mittelsenkrechten, nicht von den Ecken. Beim stumpfen Dreieck liegt er sogar draußen. Darauf balanciert nichts. Nur im gleichseitigen Dreieck fallen beide Punkte zusammen.
Beispiele
Zweites Beispiel: ein Dreieck im Kästchengitter. Wir prüfen zwei zu eins. Von A zur Mitte von BC: Die Seitenhalbierende läuft hier waagerecht. Die zweite Seitenhalbierende von B kreuzt bei vier, drei. Das ist S. Zähl nach: A bis S vier Kästchen, S bis zur Mitte zwei.
Vier zu zwei ist zwei zu eins. Passt. Jetzt gerechnet: Eine Seitenhalbierende ist achtzehn Zentimeter. Ein Drittel: sechs. Ecke bis S sind zwei Teile: zwölf Zentimeter. S bis Mitte: sechs. Rückwärts: S bis Mitte ist drei Zentimeter. Dann ist das Ganze neun.
Nicht halbieren! Viereinhalb wäre die Mitte, nicht S.
Dein Zug
Dein Zug: Eine Seitenhalbierende ist einundzwanzig Zentimeter lang. Wie weit ist S von der Ecke? Lösung: vierzehn.
Zum Schluss
Schwerpunkt: Seitenhalbierende, immer innen. Umkreismitte: Mittelsenkrechte, auch mal draußen. Merk dir: Der Schwerpunkt liegt, wo sich die Seitenhalbierenden schneiden. Zum Üben: Schneid ein Pappdreieck aus und konstruier den Schwerpunkt. Balancier es auf dem Bleistift. Nächste Frage: Was sagt ein Boxplot?
Danach
