Klasse 7 › Mathe › Terme und Variablen
Wie funktionieren die binomischen Formeln?
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(a + b)² ist (a + b) · (a + b), und dabei entsteht neben a² und b² das Mittelglied 2ab: (a + b)² = a² + 2ab + b². Am Quadrat mit der Seite a + b sieht man die zwei Rechtecke a · b. Die zweite Formel zieht das Mittelglied ab, (a − b)² = a² − 2ab + b², bei der dritten hebt es sich auf: (a + b)(a − b) = a² − b². Ohne Mittelglied wäre (3 + 4)² nur 25 statt 49.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Das Mittelglied nicht vergessen
(a + b)² heißt (a + b) · (a + b). Multiplizierst du jedes Glied mit jedem, entsteht neben a² und b² das Mittelglied 2ab. Am Quadrat mit der Seite a + b sieht man es: Es besteht aus dem Quadrat a², dem Quadrat b² und zwei Rechtecken a · b.
Die drei binomischen Formeln
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
So wendest du sie an
- Such a und b: In (x + 4)² ist a = x und b = 4.
- Rechne a², 2 · a · b und b².
- Setz zusammen, das Mittelglied mit dem Vorzeichen aus der Klammer.
(x + 4)² = x² + 8x + 16
Typische Falle
- Falsch: (a + b)² = a² + b². Das Mittelglied 2ab fehlt.
- Probe: (3 + 4)² = 7² = 49, aber 3² + 4² = 25. Es fehlen 2 · 3 · 4 = 24.
- Bei der dritten Formel fällt das Mittelglied weg: −ab und +ab heben sich auf.
Das Quadrat mit der Seite a + b
(a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Tipp
Merk dir das Mittelglied als doppeltes Produkt: erstes Glied mal zweites Glied mal zwei.
Üben
7 Aufgaben
Rechne aus und vergleiche.
- (3 + 4)² =
- 3² + 4² =
- Mittelglied 2 · 3 · 4 =
- 3² + 2 · 3 · 4 + 4² =
Rechne mit der ersten oder zweiten binomischen Formel.
- (x + 4)² =
- (a − 3)² =
- (y + 1)² =
- (5 − b)² =
Rechne mit der dritten binomischen Formel.
- (a + 3)(a − 3) =
- (x − 5)(x + 5) =
- (7 + y)(7 − y) =
- (2x + 1)(2x − 1) =
Rechne aus. Achte auf die Zahl vor der Variablen.
- (2x + 3)² =
- (3a − 1)² =
- (x + 2y)² =
- (4 − 3b)² =
Rechne geschickt mit einer binomischen Formel.
- 51² =
- 99² =
- 19 · 21 =
- 102² =
Welche Zahl fehlt?
- x² + 6x + 9 = (x + )²
- a² − 10a + 25 = (a − )²
- y² − 16 = (y + 4)(y − )
- x² + x + 49 = (x + 7)²
Stimmt das? Kreuze an.
- (a + b)² = a² + b²
- (x − 2)² = x² − 4x + 4
- (m + 5)(m − 5) = m² − 25
- (a − b)² = a² − b²
- (x + 3)² = x² + 6x + 9
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Einfach jedes Glied quadrieren und fertig? Falsch.
Erklärung
Mit Zahlen: drei plus vier ist sieben, sieben zum Quadrat ist neunundvierzig. Drei Quadrat plus vier Quadrat ist nur fünfundzwanzig. Da fehlt etwas! Zeichnen wir ein Quadrat mit der Seite drei plus vier. Darin stecken zwei Quadrate: neun Kästchen und sechzehn Kästchen.
Und zwei Rechtecke, je drei mal vier: zweimal zwölf, vierundzwanzig. Neun plus vierundzwanzig plus sechzehn ergibt neunundvierzig. Das passt! Die zwei Rechtecke heißen Mittelglied. Genau die fehlen in der Falle. Mit Buchstaben: a Quadrat, b Quadrat und zweimal a mal b.
Das ist die erste binomische Formel, mit dem Mittelglied zwei a b. Zum Quadrat heißt Klammer mal Klammer: jedes Glied mit jedem. Mit Minus wird das Mittelglied abgezogen: die zweite binomische Formel. Plus mal Minus: Das Mittelglied hebt sich auf. Die dritte Formel.
Beispiele
Zweites Beispiel: Klammer x plus fünf zum Quadrat. Erstes Glied zum Quadrat: x mal x, x Quadrat. Mittelglied: zwei mal x mal fünf, also zehn x. Letztes Glied zum Quadrat: fünf mal fünf, fünfundzwanzig.
Zusammen: x Quadrat plus zehn x plus fünfundzwanzig. Ohne Mittelglied stünde da x Quadrat plus fünfundzwanzig. Falsch! Probe mit x gleich eins: sechs zum Quadrat ist sechsunddreißig. Eins plus zehn plus fünfundzwanzig: auch sechsunddreißig. Passt!
Trick: einundfünfzig Quadrat ist zweitausendfünfhundert plus hundert plus eins. Neunzehn mal einundzwanzig ist vierhundert minus eins: dreihundertneunundneunzig.
Dein Zug
Dein Zug: Klammer a minus drei zum Quadrat. a Quadrat minus sechs a plus neun.
Zum Schluss
Ohne Mittelglied: fünfundzwanzig. Mit Mittelglied: neunundvierzig, wie sieben Quadrat. Merk dir: Zum Quadrat einer Summe gehört das Mittelglied zwei a b. Zum Üben: Vergleich drei plus vier zum Quadrat mit drei Quadrat plus vier Quadrat. Schreib die Formel dazu. Nächste Frage: Wie klammert man aus?
Danach
