Klasse 7 › Mathe › Terme und Variablen
Wie klammert man aus?
Beim Abspielen lädt der Player von YouTube (youtube-nocookie.com). Details in der Datenschutzerklärung.
Beim Ausklammern schreibst du den größten Faktor, der in allen Summanden steckt, einmal vor eine Klammer, und in die Klammer kommt, was übrig bleibt: 12x + 18 = 6(2x + 3). Das ist Ausmultiplizieren rückwärts, der Wert bleibt gleich. Ausklammern ist kein Kürzen – 2x + 3 hat die 6 verloren und ist für x = 1 nur 5 statt 30.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Ausmultiplizieren rückwärts
Beim Ausklammern schreibst du einen Faktor, der in allen Summanden steckt, einmal vor eine Klammer. In der Klammer bleibt, was übrig ist: 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3). Aus der Summe wird ein Produkt – man sagt auch faktorisieren. Der Wert des Terms ändert sich nicht.
So klammerst du aus
- Such den größten Faktor, der in allen Summanden steckt – Zahl und Variable.
- Teile jeden Summanden durch ihn. Das kommt in die Klammer.
- Prüf durch Ausmultiplizieren.
12x + 18 = 6(2x + 3)
Beispiele
- 12x + 18 = 6(2x + 3)
- 5a − a² = a(5 − a)
- 3x + 3 = 3(x + 1)
- −4x − 8 = −4(x + 2)
Typische Falle
- Falsch: „Ausklammern ist Kürzen.“ 12x + 18 ist nicht 2x + 3 – die 6 bleibt vor der Klammer stehen.
- Kürzen gibt es nur bei Brüchen. Ausklammern schreibt denselben Term als Produkt.
- Bleibt von einem Summanden nichts übrig, steht eine 1: 3x + 3 = 3(x + 1).
Derselbe Term, zwei Formen
- Summe
- gemeinsamer Faktor
- Produkt
Am Rechteck: gemeinsame Seite
Beide Teilflächen haben die Höhe 6: 12x + 18 = 6 · 2x + 6 · 3 = 6(2x + 3).
Tipp
Fertig bist du erst, wenn in der Klammer kein gemeinsamer Faktor mehr steckt. Prüf die Zahlen in der Klammer mit dem Einmaleins.
Üben
7 Aufgaben
Klammere die größte gemeinsame Zahl aus.
- 12x + 18 =
- 15a − 10 =
- 8y + 12 =
- 21 − 14b =
- 9x + 9 =
Klammere die gemeinsame Variable aus.
- 5a − a² =
- x² + 3x =
- 4y² − 7y =
- ab + ac =
Klammere so weit wie möglich aus: Zahl und Variable.
- 6x² + 9x =
- 10a² − 5a =
- 4xy + 8x =
- 12b² + 18b =
Klammere den negativen Faktor aus.
- −4x − 8 = −4 ·
- −3a + 12 = −3 ·
- −10y − 15 = −5 ·
- −x + 7 = −1 ·
Stimmt das Ausklammern? Multipliziere aus und schreib ja oder nein.
- 4x + 10 = 2(2x + 5):
- 9a − 6 = 3(3a − 3):
- x² + x = x(x + 1):
- 8y − 4 = 4 · 2y:
Rechne geschickt: Klammere aus.
- 17 · 23 + 17 · 77 =
- 35 · 8 − 35 · 6 =
- 99 · 4 + 99 · 6 =
- 12 · 13 − 12 · 3 =
Stimmt das? Kreuze an.
- Der größte gemeinsame Faktor von 24x und 36 ist 12.
- 3x + 3 = 3x
- 7a + 7 = 7(a + 1)
- 14x + 21 = 7(2x + 21)
- a² + a = a(a + 1)
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Einfach durch sechs kürzen, und fertig? Falsch.
Erklärung
Ein Rechteck aus zwei Teilen: links zwölf x, rechts achtzehn. Beide Teile sind gleich hoch: sechs. Das ist der gemeinsame Faktor. Breiten: Zwölf x durch sechs ist zwei x. Achtzehn durch sechs: drei. Ganze Fläche: Höhe mal Breite, sechs mal Klammer zwei x plus drei.
Aus der Summe wird ein Produkt. Das nennt man auch faktorisieren. Und die Falle? Bei zwei x plus drei ist die Sechs verschwunden. Probe mit x gleich eins: zwölf plus achtzehn ist dreißig. Zwei plus drei ist nur fünf. Der Wert hat sich geändert!
Mit der Sechs davor: sechs mal fünf, wieder dreißig. Der Wert bleibt. Kürzen gibt es nur bei Brüchen: oben und unten durch dieselbe Zahl. Ein Bruch wird gekürzt, eine Summe ausgeklammert. Der Faktor bleibt davor. Also: größten Faktor suchen, jeden Summanden teilen, Faktor vor die Klammer.
Prüfen geht rückwärts: Ausmultipliziert gibt es wieder zwölf x plus achtzehn.
Beispiele
Zweites Beispiel, jetzt mit Buchstaben: fünf a minus a Quadrat. Schreib beide als Produkt: fünf mal a und a mal a. In beiden Summanden steckt a. Das ist der gemeinsame Faktor. Das a kommt vor die Klammer. Übrig bleiben fünf minus a.
Probe: a mal fünf und a mal minus a. Passt! So weit wie möglich: sechs x Quadrat plus neun x. Nur die Drei? Drei mal Klammer zwei x Quadrat plus drei x. In der Klammer steckt überall noch ein x. Also mit nach vorn!
Vorsicht bei drei x plus drei: drei durch drei ist eins. Ohne die Eins bliebe ausmultipliziert nur drei x übrig. Rechentrick: Siebzehn ausklammern, dann siebzehn mal hundert. Eintausendsiebenhundert.
Dein Zug
Dein Zug: Klammere aus, fünfzehn a plus zwanzig. Lösung: fünf mal Klammer drei a plus vier.
Zum Schluss
Gekürzt: fünf, falsch. Ausgeklammert: dreißig, wie vorher. Der Wert bleibt. Merk dir: Der gemeinsame Faktor kommt vor die Klammer, der Rest hinein. Zum Üben: Klammere zwölf x plus achtzehn und fünf a minus a Quadrat aus. Nächste Frage: Wie löst man eine lineare Gleichung?
Danach
