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Wie löst man eine Ungleichung?

Mathe Klasse 7 Gleichungen

UngleichungZeichen dreht!

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Kurz gesagt

Eine Ungleichung löst du fast wie eine Gleichung: Plus, Minus und Malnehmen oder Teilen mit einer positiven Zahl lassen das Zeichen stehen. Nimmst du mit einer negativen Zahl mal oder teilst durch sie, dreht sich das Zeichen um: Aus −2x < 6 wird x > −3. Prüf mit einer Zahl von innen und einer von außen.

Das Wichtigste zum Nachlesen

1 Min. Lesen

Fast wie eine Gleichung

Eine Ungleichung wie −2x + 3 < 9 hat meist unendlich viele Lösungen. Du löst sie fast wie eine Gleichung: Plus, Minus und Malnehmen oder Teilen mit einer positiven Zahl ändern das Zeichen nicht. Nimmst du mit einer negativen Zahl mal oder teilst durch sie, dreht sich das Zeichen um: Aus < wird >.

Die Lösungsmenge x > −3

Offener Kreis: −3 gehört nicht dazu. Der Pfeil zeigt nach rechts zu allen größeren Zahlen. Probe mit 0 (innen) und −5 (außen).

So löst du sie

Umformen wie bei einer Gleichung: −2x + 3 < 9 | − 3.
Durch −2 teilen – negative Zahl, Zeichen umdrehen.
Lösungsmenge: x > −3.
Probe mit einer Zahl von innen und einer von außen.

Mal oder geteilt durch eine negative Zahl: Zeichen umdrehen

Beispiel

−2x + 3 < 9 | − 3
−2x < 6 | : (−2)
x > −3

Typische Falle

Falsch: „Das Zeichen bleibt immer stehen.“ −2x < 6 geteilt durch −2 ergibt x > −3, nicht x < −3.
Probe mit x = 0 (innen): −2 · 0 + 3 = 3, und 3 < 9 stimmt.
Probe mit x = −5 (außen): −2 · (−5) + 3 = 13, und 13 < 9 stimmt nicht.

Warum sich das Zeichen dreht

vorher
mal minus eins
Zeichen gedreht

Tipp

Zeichne die Lösungsmenge an einen Zahlenstrahl: Bei x > −3 kommt ein offener Kreis auf die −3, weil sie nicht dazugehört, und ein Pfeil nach rechts.

Üben

6 Aufgaben

Löse die Ungleichung. Achte auf das Zeichen.
1. −2x + 3 < 9 →
2. 3x − 4 > 11 →
3. −x + 2 > 7 →
4. 5 − 2x < 1 →
5. 4x + 1 < 2x + 9 →
Lies die Lösungsmenge am Zahlenstrahl ab.
1. Der Kreis sitzt bei .
2. Gehört die 2 dazu?
3. Lösungsmenge:
4. Passt 5 − 2x > 1 zum Bild?
Löse. Hier bleibt das Zeichen stehen.
1. x + 4 < 10 →
2. 2x > 14 →
3. x − 3 > −1 →
4. 3x + 2 < 17 →
Setz die Zahl ein. Stimmt die Ungleichung? Schreib ja oder nein.
1. x = 0 bei −2x + 3 < 9:
2. x = −5 bei −2x + 3 < 9:
3. x = 4 bei 3x − 4 > 11:
4. x = −3 bei −2x + 3 < 9:
Stell eine Ungleichung auf und beantworte die Frage mit einer ganzen Zahl.
1. Ein Heft kostet 2 €. Lea gibt weniger als 15 € aus. Höchstens Hefte
2. Ein Aufzug trägt weniger als 600 kg. Ein Mann (90 kg) lädt Kisten zu je 40 kg ein. Höchstens Kisten
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4. Mia hat 20 € und spart jede Woche 5 €. Sie will mehr als 60 € haben. Mindestens Wochen
Stimmt die Umformung? Kreuze an.
1. Aus x + 3 < 5 folgt x < 2.
2. Aus −x < 4 folgt x > −4.
3. Aus 2x > 6 folgt x < 3.
4. Aus −3x > 9 folgt x > −3.
5. Addiert man eine negative Zahl, dreht sich das Zeichen um.