Klasse 7 › Mathe › Winkel, Dreiecke und Konstruktionen
Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises?
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Der Mittelpunkt des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten, denn nur dort ist er von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt er innen, bei einem rechtwinkligen genau in der Mitte der längsten Seite und bei einem stumpfwinkligen außerhalb des Dreiecks.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Gleich weit von allen Ecken
Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle drei Ecken. Sein Mittelpunkt M ist von allen Ecken gleich weit entfernt – darum liegt er auf den Mittelsenkrechten der Seiten. Zwei Mittelsenkrechten genügen: Ihr Schnittpunkt ist M, der Abstand von M zu einer Ecke ist der Radius.
Spitz, recht, stumpf
Die Mittelsenkrechten schneiden sich in M: im Dreieck, auf der längsten Seite, außerhalb.
Wo liegt M?
- im Dreieck
- in der Mitte der längsten Seite
- außerhalb des Dreiecks
So konstruierst du den Umkreis
- Mittelsenkrechte einer Seite konstruieren.
- Mittelsenkrechte einer zweiten Seite konstruieren.
- Den Schnittpunkt M markieren.
- Kreis um M durch eine Ecke – er trifft alle drei.
MA = MB = MC = r
Typische Falle
- Falsch: „Der Mittelpunkt des Umkreises liegt immer im Dreieck.“ Bei einem stumpfen Winkel liegt er außerhalb.
- Bei einem rechten Winkel liegt er genau in der Mitte der längsten Seite.
- Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten – nicht verwechseln.
Tipp
Prüf mit dem Zirkel: Stich in M ein und öffne bis A. Trifft der Kreis auch B und C, stimmt deine Konstruktion.
Üben
4 Aufgaben
Wo liegt der Umkreismittelpunkt? Schreib innen, außen oder Seite.
- Winkel 50°, 60°, 70°:
- Winkel 90°, 30°, 60°:
- Winkel 120°, 30°, 30°:
- Gleichseitiges Dreieck:
- Winkel 100°, 45°, 35°:
Nutze den gleichen Abstand zu den Ecken.
- M ist 5 cm von A entfernt. Abstand von M zu B: cm
- Umkreisradius 4 cm. Abstand von M zu C: cm
- Rechtwinkliges Dreieck, längste Seite 10 cm: Radius cm
- Rechtwinkliges Dreieck, längste Seite 7 cm: Radius cm
Drei Dörfer bekommen einen Funkmast, der von allen gleich weit entfernt ist.
- Der Mast ist 6 km von Dorf A entfernt. Von Dorf C: km
- Die Dörfer bilden ein stumpfwinkliges Dreieck. Steht der Mast zwischen den Dörfern, also im Dreieck?
- So viele Mittelsenkrechten braucht man mindestens, um den Ort zu finden:
- Rechtwinkliges Dreieck, längste Seite 12 km: Abstand zu jedem Dorf km
Stimmt das? Kreuze an.
- Der Umkreis geht durch alle drei Ecken.
- Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
- Der Umkreismittelpunkt ist von allen Ecken gleich weit entfernt.
- Im rechtwinkligen Dreieck liegt er in der Mitte der längsten Seite.
- Der Umkreis berührt die Seiten von innen.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Der Mittelpunkt des Umkreises liegt natürlich im Dreieck. Falsch!
Erklärung
Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle drei Ecken geht. Sein Mittelpunkt M ist also von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Gleich weit von A und B? Das kennst du: die Mittelsenkrechte! Gleich weit von A und C: die Mittelsenkrechte von AC.
Wo sich beide schneiden, liegt M. Von allen Ecken gleich weit! Erste: MA gleich MB. Zweite: MA gleich MC. Also alle drei gleich. Die dritte Mittelsenkrechte läuft von selbst durch M. Zwei reichen also. Zirkel in M, bis A öffnen: Der Kreis trifft alle drei Ecken.
Jetzt ein stumpfer Winkel bei C, größer als neunzig Grad. Mittelsenkrechten von AB und AC: Sie schneiden sich unterhalb von AB. M liegt außerhalb des Dreiecks. Der Umkreis geht trotzdem durch alle Ecken. Und beim rechten Winkel? Da liegt M genau auf der längsten Seite.
Die längste Seite ist dann ein Durchmesser des Umkreises.
Beispiele
Anwendung: Drei Dörfer brauchen einen Funkmast, von allen gleich weit weg. Gleich weit von drei Punkten: Das ist der Umkreismittelpunkt. Erst die Mittelsenkrechte zwischen A und B, genau in der Mitte. Dann die zwischen B und C. Sie trifft die erste weit unten.
Dort steht der Mast, außerhalb des Dreiecks. Das ist kein Fehler! Probe: Zu jedem Dorf sind es genau fünf Kilometer. Fast in einer Reihe: Darum ist der Winkel bei C stumpf. Und rechtwinklig? Ist die längste Seite zehn Zentimeter, ist der Radius fünf.
Dein Zug
Dein Zug: Ein Dreieck hat einen Winkel von hundertzwanzig Grad. Wo liegt M? Lösung: außerhalb.
Zum Schluss
Spitz: M liegt innen. Recht: auf der längsten Seite. Stumpf: außen. Merk dir: M liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, nicht immer im Dreieck. Zum Üben: Konstruier den Umkreis eines stumpfwinkligen Dreiecks. Wo liegt sein Mittelpunkt? Nächste Frage: Was sagt der Satz des Thales?
Danach
